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Cours maths 6ème

Symétrie axiale

Ce cours permet de découvrir la notion de figures symétriques par rapport à une droite. Il montre comment construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’un cercle et met en évidence les propriétés de « conservation » de la symétrie axiale : conservation des distances, de l’alignement, des angles et des aires.

 

Figures symétriques

 

Définition : Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent par pliage le long de la droite (d).

 

 

Les figures F1 et F2 se superposent par pliage le long de la droite (d).

Les figures F1 et F2 sont symétriques par rapport à la droite (d).

 

Vocabulaire

La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale par rapport à cette droite ou symétrie axiale.

 

 

La droite est appelée axe de la symétrie.

 

 

Symétrique d’un point

Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite (d) s’ils se superposent par pliage le long de cette droite.

 

Définition : On dit que le point A’ est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].

 

Remarque :
Si le point A appartient à la droite (d), alors A et A’ sont confondus.

 

Dans ce cas, A est son propre symétrique par rapport à (d).

 

Construction du symétrique d’un point

Première méthode : avec une équerre et un compas

Avec l’équerre, on trace la perpendiculaire à la droite (d) passant par A.

 

 

Puis on prolonge le trait avec l’équerre.

 

 

Avec le compas on reporte la distance entre le point A et la droite (d) de l’autre côté de la droite.

On obtient ainsi le symétrique A’ du point A par rapport à la droite (d).

 

 

Deuxième méthode : avec le compas seul

On prend deux points distincts M et N de la droite (d).

 

 

Avec le compas on trace le cercle de centre M passant par A puis le cercle de centre N passant par A.

 

 

Ces deux cercles se coupent en A et aussi en un autre point A’ symétrique du point A par rapport à la droite (d).

 

Symétrique d’un segment

Propriété :
Le symétrique d’un segment par rapport à une droite (d) est un segment de même longueur.

A’ est le symétrique de A par rapport à (d).

B’ est le symétrique de B par rapport à (d).

Le segment [A’B’] est le symétrique du segment [AB] par rapport à (d).

On a A'B' = AB

On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.

 

Symétrique d’une droite

Propriété : Le symétrique d’une droite par rapport à une droite (d) est une droite.

Pour construire le symétrique d’une droite par rapport à un axe, il suffit de construire les symétriques de deux points de la droite par rapport à cet axe.

On choisit deux points quelconques A et B de la droite.
On construit les symétriques de A et B par rapport à la droite (d).

A’ est le symétrique de A par rapport à (d).
B’ est le symétrique de B par rapport à (d).

La droite (A’B’) est la droite symétrique de la droite (AB) par rapport à (d).

 

Observons le symétrique de la droite (AB) par rapport à (d) ...

 

1) Dans le cas où la droite (AB) et la droite (d) sont parallèles

 

 

La droite (AB) et la droite (A’B’) sont aussi parallèles.

 

2) Dans le cas où la droite (AB) et la droite (d) sont perpendiculaires

 

 

La droite (AB) et la droite (A’B’) sont confondues.

 

Symétrie et points alignés

Propriété : Les symétriques de trois points alignés par rapport à une droite (d) sont trois points alignés.

 

Les points A, B et C sont alignés.

Les points A’, B’ et C’ sont aussi alignés.

On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement.

 

Symétrique d’un cercle

Propriété : Le symétrique d’un cercle par rapport à une droite (d) est un cercle de même rayon et dont le centre est le symétrique du centre du premier cercle.

♦ A’ est le symétrique de A par rapport à (d).

♦ C’ est le symétrique du cercle C par rapport à (d).

⇒ Les deux cercles C et C’ ont le même rayon.

 

 

Symétrique d’un angle

 

Propriété :
Le symétrique d’un angle par rapport à une droite (d) est un angle de même mesure.

 

L’angle BÂC et l’angle B’Â’C’ ont la même mesure.

 

On dit que la symétrie axiale conserve les angles.

 

Autre propriété

Deux figures symétriques par rapport à une droite ont la même aire.

Les figures F1 et F2 sont symétriques par rapport à la droite (d).

Les figures F1 et F2 ont la même aire.

A1 = aire(F1) / A2 = aire(F2)

A1 = A2

 

On dit que la symétrie axiale conserve les aires.

Remarque : Les figures F1 et F2 ont aussi le même périmètre.

En effet, la symétrie axiale conserve les longueurs !

 

Construction du symétrique d’une figure

Pour construire le symétrique d’une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ses points et on utilise les propriétés de conservation.