Similitudes directes

L’identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales
les symétries axiales, encore appelées réflexions, sont des similitudes.

 

Attention ! Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport lkl

 

Une similitude de rapport 1 conserve les distances, elle est appelée isométrie.

 

L’identité, les translations, les rotations, les réflexions sont des isométries
La symétrie centrale est un cas particulier de rotation, c'est donc une isométrie.
Les similitudes conservent les angles géométriques.

 

On appelle similitude directe toute similitude qui conserve les angles orientés.
Une isométrie directe est appelée un déplacement.
L’identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales
sont des similitudes directes.

 

On appelle similitude indirecte toute similitude qui transforme tout angle en son opposé.
Une isométrie indirecte est appelée un anti-déplacement.

 

Les réflexions sont des similitudes indirectes

2/ Angle d’une similitude directe

 

Propriété :

Si s est une similitude directe alors :
quels que soient les points distincts A et B du plan, d’images respectives A’ et B’,
l’angle est constant.

 

Cet angle est appelé angle de la similitude.

 

Démonstration :
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d’images respectives A’, B’, C’ et D’.

Or, s similitude directe conserve les angles orientés,
donc :
On a donc :

L’angle entre un vecteur et son vecteur image est bien constant.

- les translations, l’identité et les homothéties de rapport k >0 sont des similitudes d’angle nul.
- les homothéties de rapport k et les symétries centrales sont des similitudes d’angle .
- les rotations d’angle 0 sont des similitudes d’angle 0.

 

Réciproque :

Si s est une similitude telle que :
pour tous points distincts A et B du plan d’images respectives A’ et B’,
l’angle est constant,
alors s est une similitude directe.

 

Démonstration :
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d’images respectives A’, B’, C’ et D’.

Or, l’angle orienté entre un vecteur et son image est constant,
donc :
On a donc :

 

s est une similitude qui conserve les angles orientés, elle est donc directe.

3/ Écriture complexe d’une similitude directe

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé de sens direct

 

Théorème : soit transformation du plan.

Si f est une similitude directe de rapport k et d’angle 0 alors :
alors f admet une écriture complexe de la forme : z' = az + b avec a = keio

Démonstration :
Soit f similitude directe de rapport k et d’angle 0.

Il est à remarquer que si f a pour écriture : z' = az + b alors O a pour image O’ d’affixe b.

Appelons donc b l’affixe de O’ image de O par f et soit M’(z’) image de M(z) par f.

Alors : O’M’ = k OM donc :
Soit :
De plus :
Donc : arg (z' - b) - arg (z - 0) = 0

Soit:

est le nombre complexe de module k et d’argument 0 donc :

D’où f s’écrit : z' = az + b avec a = keio
Et k ≠ 0 donc a ≠ 0.

 

Réciproque : soient a et b nombres complexes.

Toute transformation f admettant une écriture de la forme : z' = az + b avec a ≠ 0
est une similitude directe de rapport k = lal et d’angle 0 = arg a

Démonstration :
Soient M et N points quelconques du plan d’images respectives M’ et N ’ par s.

Alors :

D’où : ,

donc : M' N' = lal x MN
Et a ≠ 0, donc f est une similitude de rapport lal
De plus, comme a ≠ 0, son argument existe et arg (zN - zM) = arg a + arg(zN - zM)

Donc :
D’où :

f est une similitude et l’angle entre un vecteur et son image est constant donc :
f est une similitude directe et son angle vaut cette constante : arg a

En résumé :

 

 

4/ Existence et unicité d’une similitude directe

Théorème :

Soient A, B, A’ et B’ quatre points du plan tels que A ≠ B et A’ ≠ B’.
Alors, il existe une unique similitude directe s telle que : s(A) = A’ et s(B) = B’.

 

Démonstration

Si une telle similitude s existe alors il existe a et b complexes, avec a ≠ 0 tels que:
zA' = azA + b et zB' = azB + b
alors : zB' - zA' = a (zB - za)

soit :

auquel cas : b = zA' - azA

 

Si s existe, le couple ( a ; b ) est unique et s est donc elle aussi unique.
Soit s dont l’écriture complexe est z' = az + b

avec : et b = zA' - azA
B étant différent de A, a est défini.
zA' = azA + b et zB' - zA' = azB - azA
Donc zB' = azB - azA+ zA' = azB + b
De plus, comme B’ ≠ A’, a est non nul et s est donc définie.
D’où : s(A) = A’ et s(B) = B’.

 

Une similitude directe transformant A en A’ et B en B’ existe donc et est unique

Remarques :
- la démonstration de ce théorème fait souvent l’objet d’un R.O.C au BAC.
- s a pour rapport : et pour angle
- il est nécessaire d’avoir A ≠ B et A’ ≠ B’ mais il est possible d’avoir A = A’ ou B = B’
auquel cas, les points sont invariants par s.

5/ Forme réduite d’une similitude directe

Théorème :
soit s similitude directe d’écriture complexe : z' = az + b avec a ≠ 0.

- si a = 1 : s est la translation de vecteur d’affixe b. (le vecteur n'a aucun rapport avec le vecteur de base. il s'agit seulement d'une notation)

- si a ≠ 1 : alors s admet un unique point invariant d’affixe : et s est la composée :

- de l’homothétie de centre et de rapport lal (rapport de s) et

- de la rotation de centre et d’angle : arg a (angle de s)
est appelé le centre de la similitude directe.

Et une écriture complexe de s est alors :

 

Remarques :
- si lal = 1 et a ≠ 1, l’homothétie est l’identité et s est alors une simple rotation.

- si arg a = 0 + 2k , la rotation est l’identité est s est alors une homothétie.

- comme nous le démontrerons, l’ordre de composition n’a pas d’importance.

- cette décomposition en rotation et homothétie est unique et appelée forme réduite de s.

 

Toute similitude directe, différente d’une translation, s’écrivant de façon unique comme la composée d’une rotation et d’une homothétie :
elle est donc entièrement définie par la donnée de son centre, de son rapport et de son angle..
On les appelle les éléments caractéristiques de la similitude directe..
Et l’on notera s de la sorte : s ( ; k ; 0)

 

Démonstration :
Soit M(z) d’image M’(z’) par s.
Si a = 1 : z' - z = b donc : avec d’affixe b.
s est donc la translation de vecteur

 

Remarque : si b = 0, alors s est l’identité et tout point est alors invariant par s.
- si a ≠ 1 alors M(z) invariant par s car : a ≠ 1
s admet donc un unique point invariant d’affixe :

M’(z’) image de M(z) par s est donc équivalent à :

* Or, l’écriture complexe de h homothétie de centre et de rapport lal est

* Et l’écriture complexe de r rotation de centre et d’angle arg a est

L’écriture de h o r est donc :

L’écriture de r o h est donc :

 

Dans les deux cas, il s’agit de l’écriture de s, qui est donc égale à h o r et r o h.

 

6/ Déplacements

 

Théorème :

Si une transformation f est un déplacement alors :
f est soit une translation soit une rotation d’angle non nul.

 

Démonstration :
f déplacement est une similitude directe de rapport 1, donc f s’écrit : z' = az + b avec lal = 1
Et nous avons montré que :
- si a = 1 : alors f est la translation de vecteur d’affixe b.
Et il est à remarquer que :
- si b ≠ 0 : f n’admet aucun point fixe.
- si b = 0 : f = Id et tout point du plan est fixe..
- si a ≠ 1 : alors a s’écrit a = ei0 avec 0 non nul car a ≠ 1.

 

f admet alors un unique point fixe d’affixe
f = r o h avec r = r ( ; 0) et h = h ( ; lal) . Or : h = Id donc f = r.

Dans ce cas là, f est donc une rotation d’angle non nul.

Conséquence :
Un déplacement admettant un point fixe est soit l’identité, soit une rotation d’angle non nul.

En effet, d’après le listage fait lors de la démonstration du théorème :
- soit f est un déplacement admettant un unique point fixe auquel cas il s’agit d’une rotation d’angle non nul.

- soit f est un déplacement avec plus d’un point fixe auquel cas il s’agit de l’identité.

7/ Composition de similitudes directes

Théorème :

Soit f similitude directe de rapport k et d’angle 0
et soit g similitude directe de rapport k’ et d’angle 0’.
Alors, f o g et g o f sont des similitudes directes de rapport kk’ et d’angle 0 + 0’.

 

Démonstration :
Soit f d’écriture complexe : z'= az +b avec a = kei0 ≠ 0
Et soit g d’écriture complexe : z' = cz + d avec c = k' e i0 ≠ 0
Alors : f o g a pour écriture : z' = a (cz + d) + b = (ac)a + (ad + b)
L’écriture de f o g est du type : z' = Az + B , avec A = ac = kei0 k'ei0 = kk'ei(0+0') ≠ 0
Donc, f o g est une similitude directe de rapport : lAl = kk' et d’angle arg A = 0 + 0’.
g o f a pour écriture : z' = c(az + b) + d = (ac)z + (cb + d)
Donc, g o f est également une similitude directe de rapport kk’ et d’angle 0 + 0’.

 

Attention !
en général f o g et g o f ne sont as égales

 

En effet :
f o g a pour écriture :
g o f a pour écriture :
Donc, à moins que ad + b soit égal à cb + d, f o g et g o f ne sont p