Cours maths 1ère S

Projection orthogonale

Projection orthogonale

 

Rappel : produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Soient et deux vecteurs du plan.

Si et sont non nuls, on appelle produit scalaire de et le nombre réel noté

défini par :

Si ou est le vecteur nul

alors

 

Produit scalaire et projection orthogonale

Théorème

Soient A, B,C trois points du plan tels que et et soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors :

 

Configurations fondamentales

Configurations fondamentales

 

Projeté orthogonal d’un vecteur sur un axe

Théorème et définition

Soient un vecteur unitaire d’un axe (A , ) et un vecteur.

Il existe un unique vecteur colinéaire à tel que .

On l’appelle projeté orthogonal de sur (A , ).

Démonstration

Tout vecteur colinéaire à est de la forme où k est un nombre réel.

Alors

car est un vecteur unitaire, c’est-à-dire tel que .

Donc si et seulement si . Ce qui prouve l’existence

et l’unicité de .

 

Projeté orthogonal d’un vecteur

On a donc :

Si est un vecteur unitaire, est le projeté orthogonal de sur (A, ) si et seulement si

Si alors où M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur .

Démonstration

Si et si M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur (A, ), alors est un vecteur colinéaire à et on a

Or les vecteurs et sont orthogonaux à donc et

d’où

Ce qui prouve que est le projeté orthogonal de sur (A, ).

Si et sont deux vecteurs non nuls, le projeté orthogonal de sur un axe (A, ) est le vecteur

Exemple

Soient et les deux vecteurs de coordonnées

respectives et .

Calculons le projeté orthogonal du vecteur sur

l’axe (O, ).

On a

d’où   

Le projeté orthogonal de sur l’axe (O, ) est le vecteur de cordonnées .