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Cours maths 3ème

Probabilités - expériences à deux épreuves

Ce cours a pour objectifs de faire découvrir et travailler les expériences à deux épreuves ainsi que les arbres de probabilités. Il est conseillé d’avoir vu au préalable le cours : probabilités - introduction.

 

Activité : arbre des possibles

On considère une urne contenant 8 boules indiscernables au toucher.
On tire une boule au hasard.

 

1) Quel est le nombre d’issues possibles ?
Il y a 8 boules différentes, donc 8 issues possibles .

R : « obtenir une boule rouge ».
J : « obtenir une boule jaune ».
V : « obtenir une boule verte ».

2) Une boule est rouge, trois sont jaunes et quatre sont vertes.

Quels sont les événements possibles ?

Il y a 3 événements possibles :
R : « obtenir une boule rouge ».
J : « obtenir une boule jaune ».
V : « obtenir une boule verte ».

Ce schéma permet de représenter les 3 événements possibles :

Ce type de schéma s’appelle un arbre des possibles.

 

Activité : arbre pondéré

2) Combien y-a-t-il de tirages favorables pour chaque événement ?

Pour l’événement R, il y a 1 tirage favorable.
Pour l’événement J, il y a 3 tirages favorables.
Pour l’événement V, il y a 4 tirages favorables.


3) En déduire p(R), p(J) et p(V) .

En inscrivant les probabilités associées sur chaque branche de l’arbre des possibles, on obtient : Un arbre pondéré ...

Remarque : p(R) + p(J) + p(V) = 1

 

Activité : énoncé

On considère maintenant l’expérience suivante qui se déroule en 2 étapes :

Etape 1 : on tire une boule dans l’urne précédente : la probabilité d’obtenir une boule rouge est 1/8, celle d’obtenir une boule jaune est 3/8 et la probabilité d’obtenir une boule verte est 1/2.

 

 

Etape 2 : on tire ensuite une boule numérotée dans une 2ème urne : la probabilité d’obtenir « 1 » est 1/6, la probabilité d’obtenir « 3 » est 2/6 et la probabilité d’obtenir « 5 » est 3/6.

 

 

 

Activité : arbre des possibles

1. On note (R, 1) l’événement : « on a obtenu rouge au premier tirage et 1 au second tirage ».
a) Que signifie le codage (J , 5) ?


Le codage (J , 5) signifie que l’on a obtenu jaune au 1er tirage et 5 au 2ème.

 

b) Coder ainsi toutes les issues possibles.

Les événements possibles sont : (R , 1) ;  (R , 3) ;  (R , 5) ;  (J , 1) ;  (J , 3) ;  (J , 5) ;  (V , 1) ;  (V , 3) ;  (V , 5).

 

On peut schématiser la situation grâce à l’arbre :

 

Activité : arbre pondéré

On peut schématiser la situation par l’arbre pondéré suivant :

 

Activité : calcul de probabilité

2. On veut calculer la probabilité de l’événement (R , 1). On répète 240 fois cette expérience, en supposant que les résultats se répartissent selon les probabilités données.
a) Dans ces conditions, combien allons nous obtenir de boules rouges ?


Nous allons obtenir 240 / 8 = 30 boules rouges.

b) Dans ces conditions, combien de tirages permettront d’obtenir une boule rouge, puis une boule portant le numéro 1 ?

30 / 6 = 5.
5 tirages permettront d’obtenir l’événement (R,1)

 

c) Quelle est la probabilité d’obtenir (R,1) ?

 

⇒ La probabilité d’obtenir l’événement (R,1) est 1/48.

 

 

4.a) Comment peut-on obtenir directement ce résultat en utilisant l’arbre ci-contre ?

 

Il faut multiplier la probabilité d’obtenir une

 

 

b) Calculer la probabilité de l’événement (J , 3).

 


La probabilité d’obtenir l’événement (J,3) est 1/8.

 

Propriété des arbres pondérés dans le cas d'expériences à deux épreuves

Dans un arbre pondéré, la probabilité de l’issue à laquelle conduit un chemin est égal au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.