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Cours maths Terminale S

Probabilités conditionnelles

On commence dans ce module par définir la notion d’arbre pondéré, à partir d’un exemple simple d’expérience aléatoire.
La répétition de cette expérience de façon indépendante permet ensuite de dresser un arbre pondéré composé.

1/ Arbre pondéré

Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à six faxes.
Les issues possibles de l’expérience peuvent être représentées à l’aide d’un arbre de choix

En supposant l’univers équiprobable,
chaque événement élémentaire a pour probabilité :
Si nous transformons chaque issue en événement et si nous affectons à chacun de ces événements élémentaires sa probabilité,
nous obtenons alors un arbre pondéré représentant l’expérience.

Plus généralement :
Un arbre pondéré représente une partition de l’univers en événements, affectés de leur probabilité respective.

Il y a donc autant d’arbres pondérés pour une expérience que de partitions de l’univers.

Autre exemple d’arbre pondéré pour cette expérience :
Soit A l’événement : « le chiffre obtenu est pair ».
A = { 2; 4; 6 } donc card A = 3 d’où :

A et son événement contraire représentent une partition de l’univers.

On a donc l’arbre pondéré :

2/ Expériences successives idépendantes : arbre pondéré composé

Lançons maintenant un second dé, à la suite du premier.

Soit B l’événement : « le chiffre obtenu au second lancer est un multiple de 3 »

B = { 3; 6 } donc card B=2 d’où :

On a donc l’arbre pondéré pour le second lancer :
Il est alors possible de créer un arbre pondéré représentant l’enchaînement des deux lancers :

Sachant que l’on a obtenu un nombre pair au premier lancer, on peut obtenir au second lancer : soit un chiffre multiple de 3,, soit un chiffre non multiple de 3.

Il en est de même sachant que l’on a obtenu un nombre impair au premier lancer.

Le lancer d’un dé étant une expérience absolument aléatoire,
le résultat obtenu au second lancer ne dépend pas du résultat obtenu au premier lancer.

Les probabilités sur les branches secondaires sont donc les mêmes que celles trouvées plus haut pour le second lancer.

2/ Expériences successives idépendantes : parcours et événements

Un parcours ou chemin sur l’arbre, représente un événement pour l’expérience globale.

Le parcours rouge, par exemple, représente l’événement :

« le chiffre sur le premier dé est pair et le chiffre sur le second dé n’est pas un multiple de 3 ».

Plus généralement :
Un parcours sur l’arbre représente l’intersection de tous les événements rencontrés sur ce parcours.
Conseil :
Pour les calculs futurs, une bonne habitude à prendre est de marquer au bout de chaque branche l’événement qui lui correspond.

2/ Expériences successives idépendantes : règles de calcul

Expériences successives idépendantesChaque nouveau départ de branche est appelé un nœud.. En partant d’un nœud, on réalise la partition d’un « sous-univers ».

Ici, par exemple,
nous sommes dans un sous-univers où le premier dé a donné un chiffre impair.

La probabilité pour qu’ensuite, le chiffre sur le second dé soit un chiffre multiple de 3 ou, non multiple de 3, est totale

donc, la somme des probabilités des branches partant de abare est égale à 1.

Plus généralement, on obtient la règle n° 1, appelée :

Loi des nœuds :
La somme des probabilités inscrites
sur les branches partant d’un même nœud est égale à 1.

Règle n° 2 ( admise )
La probabilité d’un parcours est égale
au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce parcours.

Exemple :

3/ Loi des probabilités totales : partition

3/ Loi des probabilités totales : énoncé

Loi des probabilités totales :
Si les événements A1 ; A2 ; ... ; An forment une partition de l’univers
alors, quel que soit l’événement B :

Illustration pour une partition de l’univers en 3 événements :

En effet, A1 ; A2 ; ... ; An formant une partition de l’univers omega
forment une partition de B, d’où la formule.

3/ Loi des probabilités totales : application aux arbres pondérés

Dans le cas d’un arbre pondéré, nous pouvons donc énoncer la règle n° 3 :

La probabilité d’un événement B est la somme des probabilités des parcours qui mènent à B.

Exemple et rédaction type :
A et abare forment une partition de l’univers, donc d’après la loi des probabilités totales :

4/ Probabilités conditionnelles : exemple

Soit une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes.
On tire une première boule de l’urne.
Appelons R1 l’événement : « la première boule tirée est rouge ».
Appelons V1 l’événement : « la première boule tirée est verte ».
On a alors l’arbre pondéré suivant :

Si l’on veut enchaîner avec un second tirage, on peut imaginer deux situations :

- situation n° 1 :
On remet la première boule tirée dans l’urne
avant de tirer la seconde boule.

Le résultat du second tirage ne dépend alors pas du résultat du premier tirage.

Appelons R2 l’événement : « la seconde boule tirée est rouge ».
Appelons V2 l’événement : « la seconde boule tirée est verte ».
On a alors :
- situation n° 2 :

On ne remet pas la première boule tirée dans l’urne avant de tirer la seconde boule.

La probabilité d’un événement du second tirage dépend alors du résultat du premier tirage.

En effet :
Supposons par exemple que la première boule tirée est rouge,
il reste alors dans l’urne : 2 boules rouges et 2 boules vertes.
La probabilité pour que la seconde boule tirée soit rouge devient alors de soit

Cette probabilité que l’on marque sur la branche allant de R1 à R2

se note : pR1 (R2) Et se lit : « p de R2 sachant R1 ».

C’est à dire, probabilité que l’événement R2 se réalise sachant que
l’événement R1 s’est produit

Toutes les règles vues dans le cas de tirages indépendants, restent vraies.

Et donc en utilisant la loi des nœuds, on trouve :
Si la première boule tirée est verte alors il reste dans l’urne : 3 boules rouges et une verte.
Donc :
Et d’après la loi des nœuds ou en raisonnant sur les boules :

Si l’objectif est de trouver la probabilité pour que la seconde boule tirée soit rouge, on utilise la loi des probabilités totales :

R1 et V1 forment une partition de l’univers, donc d’après la loi des probabilités totales :

Et la probabilité d’un parcours étant égale au produit des probabilité inscrites sur les branches d’un parcours :

4/ Probabilités conditionnelles : cas général et formules

Soit l’arbre de référence, suivant, correspondant à une expérience aléatoire à deux étapes :

Et en utilisant la loi des probabilités totales, comme A et abare forment la parition de univers :

Comme on vient de le démontrer, toutes ces formules peuvent être retrouvées à l’aide d’un simple arbre de référence. Il est donc plus important de maîtriser le fonctionnement d’un arbre pondéré de référence que d’apprendre par cœur ces diverses formules.

4/ Probabilités conditionnelles : événements indépendants

L’événement B est dit indépendant de A si la probabilité qu’il se réalise est la même, que A se soit produit ou non.

car A b'étant pas impossible, sa probabilité n'est pas nulle
D’où le théorème :
Si A est un événement non impossible :
B est indépendant de A si et seulement si
Remarques :
Si B est un événement non impossible :
A est indépendant de B si et seulement si
Or :
Donc, si A est aussi non impossible :

« A est indépendant de B » est équivalent à « B est indépendant de A ».
Dans le cas d’événements non impossibles, les deux indépendances étant équivalentes on parlera de façon englobante d’événements indépendants.
D’où le théorème final :
Si A et B sont deux événements non impossible :
A et B sont indépendantq de A si et seulement si

5/ Variables aléatoires indépendantes

Soit une expérience aléatoire à partir de laquelle on définit deux variables aléatoires X et Y.

On note xi (1 < i < n) les n valeurs prises par X et yj (1 < j < p) les p valeurs prises par Y.

* Les variables aléatoires X et Y sont sites indépendantes si :
Pour tout i et pour tout j, les événements [ X = xi ] et [ Y = yj ] sont indépendants.
D’un point de vue pratique :
Pour montrer que X et Y sont indépendantes, il faut montrer pour tout i et pour tout j que :

Afin d’y parvenir, on définit la loi du couple ( X ; Y ),

ce qui correspond à donner la probabilité des événements :

Variables aléatoires indépendantes cette loi est présentée sous la forme d’un tableau croisé :

On commence donc toujours par remplir les deux lois sur les deux côtés du tableau, car :
- Dans un premier temps, elles nous permettent au cours des calculs de vérifier la somme des p( X ; Y ) sur chaque ligne et sur chaque colonne.
- Dans un deuxième temps, elles nous permettent de savoir si les variables sont indépendantes :

ce sera le cas si la probabilité sur chaque case est égale au produit des probabilités en bout de ligne et colonne.