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Cours maths seconde

Ordre sur les nombres

Règles sur les inégalités.
Inéquations du premier degré.

Rappels de quelques notations :

« x est positif ou nul » s’écrit x ≥ 0.
« x est strictement positif » s’écrit x > 0.
« x est négatif ou nul » s’écrit x ≤ 0.
« x est strictement négatif » s’écrit x « x est nul » s’écrit x = 0.

« a est inférieur ou égal à b » s’écrit a ≤ b.
« a est strictement inférieur à b » s’écrit a « a est supérieur ou égal à b » s’écrit a ≥ b.
« a est strictement supérieur à b » s’écrit a > b.
« a est égal à b » s’écrit a = b.

  

Règles essentielles sur les inégalités.

◆ Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre.

◆ Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l’ordre.

◆ Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l’ordre.

Inéquations du premier degré

Pour résoudre une inéquation du premier degré, on isole x en utilisant les règles essentielles sur les inégalités.

Exemple :

Théorème de transitivité

Théorème :

a, b, c étant trois nombres réels : si a

Interprétation :
si un premier nombre est plus petit qu’un second nombre et que ce second nombre est lui-même plus petit qu’un troisième nombre alors le premier nombre est forcément plus petit que le troisième nombre.

Inégalité et addition

Si a ≤ b et c ≤ d alors a + c ≤ b + d.

Exemple :

Si x ≤ 3 et y ≤ -1 alors x + y ≤ 3 + (-1) donc x + y ≤ 2.

Remarque :

Le théorème reste vrai en remplaçant ≤ par ≥, .

Exemple :

Si a ≥ b et c ≥ d alors a + c ≥ b + d.
Si -3 ≤ x ≤ 3 et -4 ≤ y ≤ -1 alors -3 + (-4) ≤ x + y ≤ 3 + (-1) donc -7 ≤ x + y ≤ 2.

Inégalité et multiplication

Si a, b, c et d sont positifs, si a ≤ b et si c ≤ d alors a x c ≤ b x d.

Exemple :

Si 0 ≤ x ≤ 4 et 0 ≤ y ≤ 5 alors 0 ≤ x.y ≤ 4 x 5 donc 0 ≤ x.y ≤ 20.

Remarque :

Le théorème reste vrai en remplaçant ≤ par ≥, .

Exemple :

Si a ≥ b et c ≥ d alors a x c ≥ b x d.
Si 2 ≤ x ≤ 4 et 1 ≤ y ≤ 5 alors 2 x 1 ≤ x.y ≤ 4 x 5 donc 2 ≤ x.y ≤ 20.

  

Passage au carré et à la racine carrée

Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés respectifs : Si a > 0 et b > 0 alors : a

De même, avec la racine carrée :

Si a > 0 et b > 0 alors : a

Exemple

On veut comparer et .

Comparaison de deux nombres

Comparer deux nombres a et b, c’est préciser laquelle de ces trois situations est la bonne : a b ou a = b.

Pour comparer deux nombres X et Y, on peut étudier le signe de leur différence :
◆ Si X – Y est positive alors X > Y
◆ Si X – Y est négative alors X ◆ Si X – Y est nulle alors X = Y

Exemple

Comparaison de a, a2 et a3 avec a positif

Pour comparer deux nombres X et Y, on peut étudier le signe de leur différence :
◆ Si X – Y est positive alors X > Y
◆ Si X – Y est négative alors X ◆ Si X – Y est nulle alors X = Y

Exemple

Si a = 3 ; alors : a2 = 9 et a3 = 27
a est plus grand que 1 et on a bien : a ≤a2≤ a3

Si a = 0,5 ; alors : a² = 0,25 et a3 = 0,125
a est plus petit que 1 et on a bien : a3 ≥ a2 ≥ a