Cours maths 1ère S

Nombre dérivé

Dan ce module on verra le Nombre dérivé ainsi que la vitesse (moyenne ou intantannée) et en dernier la limite en zéro d'une fonction et la représentation graphique.

Et si on partait au ski !

Quelle vitesse peut-on atteindre lors d’une descente à ski ?

Pour répondre à cette question il faut noter la distance parcourue entre le point de départ du skieur et le point d’arrivée et relever le temps. Mais pour connaître la vitesse instantanée du skieur à la ligne d’arrivée, il faut utiliser la Dérivation…

 

Chute libre d’un corps

Un corps en chute libre, lâché sans vitesse initiale a parcouru au bout de t secondes la distance d(t) exprimée en mètres par :
d(t) = 5t2

Calculons la distance parcourue par le corps en chute libre au bout de 0, 1, 2, 3, 4 et 5 secondes.

* Dressons un tableau de valeurs :

* Traçons la courbe représentative de la fonction d sur l’intervalle [0, 5].

 

Nombre dérivé : Vitesse moyenne

* Calculons la vitesse moyenne du corps en chute libre. On a :

* Plaçons les vitesses moyennes dans les intervalles de temps [0,1], [1, 2], [2, 3], [3, 4] et [4, 5] dans un tableau :

Sur l’intervalle [0, 1], la vitesse moyenne vaut :

Sur l’intervalle [1, 2], la vitesse moyenne vaut :

Sur l’intervalle [2, 3], la vitesse moyenne vaut :

Sur l’intervalle [3, 4], la vitesse moyenne vaut :

* Plaçons les vitesses moyennes dans les intervalles de temps [0,1], [1, 2], [2, 3], [3, 4] et [4, 5] dans un tableau :

Sur l’intervalle [4, 5], la vitesse moyenne vaut :

 

Nombre dérivé : Vitesse instantanée

Pour évaluer la vitesse instantanée du corps deux secondes après son lâcher, calculons sa vitesse moyenne sur des petits intervalles de temps à partir de t = 2s

• La vitesse moyenne sur l’intervalle [2, 2,1] vaut :

• La vitesse moyenne sur l’intervalle [2, 2,05] vaut :

• La vitesse moyenne sur l’intervalle [2, 2,01] vaut :

• La vitesse moyenne sur l’intervalle [2, 2,001] vaut :

Plaçons ces valeurs dans le tableau ci-dessous :

Lorsque l’on donne à h des valeurs aussi proches de 0 que l’on veut, on dit que tend vers 0, on constate que les vitesses moyennes entre les instants 2 et 2+h tendent vers une valeur limite qui vaut 20 m/s.

On dit que la vitesse instantanée du corps à l’instant t0 = 2s vaut 20m/s

 

Nombre dérivé : Limite en zéro d’une fonction

La fonction n’est pas définie en h = 0

Cependant on peut se demander ce que deviennent les nombres v(h) lorsque h prend des valeurs voisines de 0.

Nous avons vu que ces nombres v(h) s’accumulent autour de la valeur 20.

On dit que la fonction v a pour limite 20 lorsque h tend vers 0.

Définition de la limite en 0 d’une fonction

Soit f une fonction. On suppose que 0 appartient à l’ensemble de définition de f ou est une borne de cet ensemble.

On dit que f a une limite finie en en 0 si, lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches de 0, alors les nombres f (x) viennent s’accumuler autour du nombre .

Exemple de limite

Reprenons la fonction

Pour tout

Lorsque h tend vers 0, c’est-à-dire lorsque h prend des valeurs de plus en plus proches de 0, 5h prend aussi des valeurs de plus en plus proches de 0 et tend vers 20.

 

Nombre dérivé : Quelques limites en zéro

Propriété

pour tout .

• Pour toute fonction polynôme P,

• Si P est une fonction polynôme telle que P(0)>0, alors

• Si f et g sont deux fonctions polynômes telles que

et

où et sont deux nombres réels, alors

Exemple

Mise en garde...

Toute fonction n’a pas une limite finie en zéro.

Par exemple, la fonction n’a pas de limite en 0 car dans tout intervalle autour de zéro, on peut trouver un x tel que soit aussi grand que l’on veut.

 

Nombre dérivé : Fonction dérivable en un point

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit .

La fonction f est dérivable en a si et seulement si la fonction

admet une limite finie lorsque h tend vers 0.

Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en .

On note

Le rapport s’appelle le taux d’accroissement de la fonction f entre et

Exemple

Soit f la fonction définie sur par f(x) = x²

Soit un nombre réel quelconque

Pour tout , on a

Comme , on en déduit que la fonction f est dérivable en a et

on a donc

 

Nombre dérivé : Interprétation géométrique

* Soit f une fonction dérivable en a.

* Soit C la courbe représentative de f.

* Soient A et M les points de C d’abscisses respectives a et a+h.

Le taux d’accroissement représente le coefficient directeur de la droite (AM).

Lorsque h tend vers 0, a+h tend vers a, le point M sur la courbe C tend vers le point A.
La droite (AM) tend vers une position limite, celle de la droite TA.

Le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers le coefficient directeur de la droite TA.

 

Nombre dérivé : Tangente à une courbe

Définition

Soit f une fonction dérivable en un point a et soit C sa courbe représentative.

La droite passant par le point A de coordonnées (a, f(a)) et de coefficient directeur f’(a) s’appelle la tangente à la courbe C au point A.

Propriété

Soit f une fonction dérivable en a et soit C sa courbe représentative.

La tangente TA à la courbe C au point A de coordonnées (a, f(a)) a pour équation

Démonstration

La tangente TA à la courbe C au point A(a, f(a)) a une équation de la forme

α est le coefficient directeur de la droite d’équation

Comme la tangente TA a pour coefficient directeur f’(a) on a

 

Nombre dérivé : Equation de la tangente

Définition

L’équation de TA s’écrit donc

Le point A appartient à la tangente TA donc ses coordonnées (a, f(a)) vérifient l’équation de TA.

On a donc

On en déduit

et l’équation de TA s’écrit

 

Nombre dérivé : Approximation affine locale

Propriété

Soit f une fonction dérivable en a.
Alors on peut écrire

où est une fonction telle que tend vers 0 lorsque tend vers 0.

On a donc

Définition

Si f est dérivable en a, la fonction affine


est appelée approximation affine de f en a.

Cela signifie que, pour les x voisins de a, f(x) est peu différent de g(x) où

Pour x proche de a, on pose x= a+h.

Lorsque x tend vers a, h=x-a tend vers 0 et tend vers 0.

Exemple

Soit f la fonction définie par f (x) =x² .

La fonction f est dérivable en a, pour tout et f ’(a) =2a.

Pour a = 2 on a f (2) = 2² = 4 et f ’(2) = 2 x 2 = 4.

On a donc

4+4h est une approximation affine de (2+h)² pour h proche de 0