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Cours maths 1ère S

Limite d'une suite

Limite d'une suite

Achille et la tortue

La notion de limite d’une suite a permis de comprendre un paradoxe imaginé par le philosophe grec Zénon d’Elée environ 465 ans avant Jesus-Christ : le paradoxe d’Achille et de la tortue.

"Pour une raison maintenant oubliée dans les brumes du temps, une course avait été organisée entre le héros Achille et une tortue. Le premier se déplaçant beaucoup plus vite que la econde, celle-ci démarra avec une certaine avance pour équilibrer les chances des deux concurrents…"

« … La première chose à faire pour Achille fût de combler son retard en se rendant à l’endroit de départ de la tortue qui, pendant ce laps de temps, s’était déplacée. Achille dut donc combler ce nouvel handicap alors que la tortue, bien que d'une lenteur désespérante, continuait inexorablement sa route, créant ainsi un handicap supplémentaire... Battu et furieux, Achille exigea une revanche mais rien n’y fit, ni la longueur de la course, ni la vitesse de déplacement d’Achille. En effet, aussi petits que soient les handicaps successifs créés par la tortue, Achille mettait toujours un certain temps pour combler chacun d’entre eux et, malgré tous ses efforts, il ne put jamais rattraper la tortue !"

 

Suite de limite infinie

Chercher la limite éventuelle d’une suite , c’est étudier le comportement des termes de la suite lorsque l’on donne à n des valeurs aussi grandes que l’on veut.

Définition :

Soit (un)n∈N une suite de nombre réels. On dit la suite (un)n∈N a pour limite +∞ si tous ses termes sont aussi grands que l’on veut pour n suffisamment grand.

Autrement dit, pour tout nombre réel M, tous les un sont plus grands que M à partir d’un certain rang.

On note alors:

Exemple

un = n²

Quand n devient très grand, n² devient aussi très grand.

Pout nombre réel positif M, aussi grand que soit M, il existe toujours une valeur de n à partir de laquelle n² est plus grand que M.

En effet, pour tout n ∈ N tel que n > √M, on a :

 

Suite de limite - ∞

Définition :

On définit de même :

Soit (un)n∈N une suite de nombre réels. On dit que la suite (un)n∈N a pour limite -∞ si, pour tout nombre réel M, tous les un sont inférieurs à M à partir d’un certain rang.

On note alors :

Remarque

 

Suites de référence

Remarque

● On en déduit que les suites

 (-√n), (-n), (-n²), (-n3)....,(-np)   avec p ∈ N* et  (-qn)   que q > 1 ont pour limite -∞.

Démonstration de la propriété

Pour montrer qu'une suite  (un) n ∈ N   tend vers +∞, il faut montrer que pour tout nombre réel M,  un > M   pour n suffisamment grand.

Il suffit donc de trouver un rang à partir duquel  un > M  

● un = √n

On a donc √n > M dès que n > M² d'où pour tout n > M², √n > M et on a

Démonstration

● Nous avons déjà vu dans l'exemple que

un = np pour p ≥ 1

Comme  p ≥ 1 , pour tout   n ∈ N , on a   np ≥ n , donc si  n > M , on a  np ≥ M .

d'où


Soient  q > 1   et  un = qn  

Posons  q = 1 + a   alors  a > 0   et  un = (1 + a)n  

Admettons un instant que  (1 + a)n > 1 + na > na   (nous le montrerons tout de suite après)

d'où si alors   un = qn > na > M  

donc


Montrons (1 + a) n > 1 + na

Pour cela, posons   ƒ(x) = (1 + x)n - nx   où n ∈ N*.

La fonction ƒ est définie et dérivable sur R et

ƒ'(x) = n(1 + x)n-1-n
= n [(1 + x)n-1 - 1]

Pour n ≥ 1, la fonction g : x → (1 + x)i n-1 est croissante sur [0,+∞[ donc g(x) ≥ g(0)

C'est à dire (1 + x)n>-1 ≥ 1 et ƒ'(x) = n> [(1 + x)n>-1-1] ≥ 0.

La fonction ƒ est donc croissante. On a donc : ƒ(a) ≥ ƒ(0)

C'est à dire (1 + a ) n - na ≥ 1

Ou encore (1 + a ) n ≥ 1 + na

 

Propriétés

 

Suite convergente

Définition :

Soit (un)n∈N une suite de nombre réel et soit un nombre réel. La suite (un)n∈N converge vers si et seulement si tout intervalle ouvert L contenant contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Définition

Autrement dit la suite (un)n∈N converge vers si et seulement si, pour tout intervalle ouvert L contenant , on peut trouver un entier n0∈ N tel que, pour tout n∈ N, si n ≥ n0, alors un ∈ i.

 

Unicité de la limite

Théorème et définition : Soit (un)n∈N une suite de nombres réels et soit ∈ R. Si la suite (un)n∈N converge vers , alors est unique. On l'appelle la limite de la suite (un)n∈N et on note :

Démonstration

Remarques

Attention !

On dit quelques fois que "la suite converge vers +∞ (ou -∞)" mais une suite qui tend vers +∞ ou vers -∞ n'est pas convergente.

Une suite divergente peut-être une suite qui tend vers une limite mais elle peut aussi être une suite qui n'a pas de limite.

Exemple

Soit (un)n∈N la suite définie par un = (-1)n

Alors pour tout n ∈ N,

● Si n est pair, un = (-1)n = 1
● Si n est impair, un = (-1)n = -1

La suite (un)neN ne peut donc être convergente.

En effet, si elle convergeait vers ∈ R, il existerait un rang n0∈ N tel que, pour tout n∈N, tel que n ≥ n0, on aurait :

Il faudrait donc avoir

Or, ceci est impossible car aucun intervalle de longueur ne peut contenir à la fois le point 1 et le point -1.

La suite (un)n∈N ne peut donc être convergente.

 

Suites de référence

 

Lien entre limite de suite et limite de fonction

Réciproque

Attention !

La réciproque est fausse.
Soit f la fonction définie sur R par

ƒ(x) = sin (2πx)

Alors, pour tout n∈ N, on a

ƒ(x) = sin (2πx)

La suite (ƒ(n))n∈IN est donc constante et converge vers 0.

Pourtant la fonction f n'a pas de limite en +∞

 

Opérations sur les limites

Soient (un)n∈IN et (Vn)n∈IN deux suites convergentes et soient et ' deux nombres réels tels que

et

Alors

- La suite converge vers
- la suite converge vers
- si , la suite converge vers

 

Théorème des gendarmes

Soient , et trois suites de nombres réels telles que, pour tout

Si les suites (Un) et (Wn) convergent vers la même limite alors la suite (Vn) converge elle aussi vers .




Les deux suites (Un) et (Wn), comme deux gendarmes, encadrent la suite pour la « conduire » vers leur limite .

Exemple

 

Limites et ralation d'ordre

Propriété

Soit (un) une suite convergente de nombres réels et soit sa limite. Soit m un nombre réel.

Si, pour tout n∈ N, on a un ≤ m,

alors ≤ m.

Remarque

On a aussi, si pour tout , alors

Propriété

Soit et deux suites convergentes de nombres réels et soient et ' leurs limites respectives.

Si, pour tout , ,

alors