Intégration par parties

Notion d'une aire

Définition :
Soit le repère orthogonal L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ et se note u.a.

 

 

Intégrale d'une fonction continue positive

Définition :

Soit f fonction continue positive sur un intervalle [ a ; b ] ( avec a ).
Et soit X sa représentation dans le repère

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par :

 

Propriétés :

 

Intégrale d’une fonction continue négative

Définition :
Soit f fonction continue négative sur un intervalle [ a ; b ] ( avec a ).
Et soit X sa représentation dans le repère

 

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d’aire, l’ opposé de l’aire de la partie du plan limitée par :

 

Intégrale d’une fonction continue

Définition :

Soit f fonction continue sur un intervalle [ a ; b ] ( avec a ).
Et soit X sa représentation dans le repère

 

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d’aire, la différence entre : les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).

Théorème :
Soit f fonction continue sur un intervalle I de .
Et soit a réel, appartenant à I.

La fonction F définie pour tout x de I par : est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.

 

Conséquence :

Soit f fonction continue sur un intervalle I de et soit F une primitive de f sur I.
Alors, quels que soient a et b appartenant à I :

Le nombre F (b) - F (a) est noté avec des crochets :

 

Propriétés pratiques : pour toute constante k :

 

Propriétés de linéarité :
soient f et g fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b ]

Conséquence des deux propriétés :
l’intégrale de la différence est égale à la différence des intégrales.

 

Relation de Chasles :
soit f continue sur un intervalle I et soient a, b et c éléments de I.

2/ Intégration et ordre

Positivité de l’intégrale :
Soit f fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ].
Si pour tout x élément de [ a ; b ] : f (x) > 0 alors :
Autrement dit : « l’intégrale d’une fonction positive est positive ».

Remarques :
1) Cette propriété découle de la définition de l’intégrale d’une fonction positive rappelée plus haut.
2) La réciproque est fausse.

3) Attention : à condition que a soit inférieur à b.
4) Toujours d’après la définition : « l’intégrale d’une fonction négative est négative ».

 

Conséquence n° 1:
soient f et g fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b ]. Si pour tout x élément de [ a ; b ] : f (x) g (x)

alors :

 

Démonstration
Pour tout x de [ a; b ] : g(x) - f (x) > 0
Donc
Or, d’après les propriétés de linéarité de l’intégrale :
d'où :
et donc :

 

Remarque : Chaque fois qu’il faut montrer une inégalité impliquant une intégrale, c’est LA propriété à utiliser.

 

Propriété simple, à laquelle, paradoxalement, les élèves pensent rarement !

 

Illustration graphique pour des fonctions positives :

 

Conséquence n° 2 : Inégalité de la moyenne.

 

Soit f fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ].
S’il existe deux réels m et n tels que pour tout x de [ a ; b ] : m f (x) M

alors :

Démonstration :
Si pour tout x de [ a ; b ] : m f (x) M

alors, d’après la conséquence n°1 :
Et donc :

 

Remarque :
Même si cette propriété est à connaître, on peut cependant très bien résoudre toute question concernant ordre et intégrales à l’aide de la seule conséquence précédente.s

 

Illustration graphique pour des fonctions positives :

 

3/ Intégration par parties

 

Théorème : intégration par parties

Démonstration :
Soit la fonction f définie sur I par : f (t) = u (t) x v (t)
f est dérivable sur I en tant que produit de fonctions dérivables sur I et pour tout t de I :

D’où :

Les fonctions u’v et uv’ étant continues, on peut appliquer la propriété de linéarité de l’intégrale :

Or, une primitive de f ’ sur I est f donc :

D’où :

 

Exemple d’utilisation de la formule :

 

soit :

 

Dans un premier temps, il s’agit de distribuer les rôles de u’ et v.
u’ doit être choisie de telle sorte que l’on soit capable d’en trouver une primitive.

Ici, on connaît une primitive de chacun des facteurs donc ce n’est pas un critère suffisant.

v doit, en général, être choisie de telle sorte que sa dérivée conduise à la possibilité de calculer

Il faut donc s’arranger pour que v’ soit plus « simple » que v.
Il n’est donc pas judicieux de choisir v (t) = et auquel cas u' (t) = t et

Ce qui reporte la difficulté rencontrée avec I sur la nouvelle intégrale

 

 

Autre utilité de la formule d’intégration par parties :

Outre le simple calcul d’intégrale, la formule d’intégration par parties permet de calculer les primitives de fonctions produit.

En effet, on est incapable de trouver directement la primitive sur de f définie par : f (x) = xex mais, on sait que la primitive F de f s’annulant par exemple en 0 vaut

Or, en reprenant le calcul précédent :

La primitive de F s’annulant en 0 est donc :