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Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité

Dans ce module, introduction d’une nouvelle notion qu’est la continuité d’une fonction en un point. En repartant de la définition et de l’illustration graphique d’une limite finie en un point, cette nouvelle notion est abordée tant d’un point de vue graphique que théorique.

 

1/ Limite finie d’une fonction en un nombre fini

Soit x0 et deux nombres réels (finis) et f fonction réelle définie au voisinage de x0

Définition
On dit que f admet comme limite lorsque x tend vers x0 si :
pour tout intervalle du type ] A ; B [ contenant il existe un intervalle ] a ; b [ contenant x0 tel que : si x ] a ; b [ alors : f (x) ] A ; B [

Autrement dit :
« Aussi étroit que l’on choisisse l’intervalle autour de , si les x sont assez proches de x0 alors leurs images sont dans cet intervalle. »

 

Notation

 

Propriété
Si f admet une limite finie en x0 alors cette limite est unique.

Concernant la limite d’une fonction en un nombre fini, on parle également de limite à gauche et de limite à droite en ce nombre.

Limites également appelées, respectivement, limite par valeurs inférieures et limite par valeurs supérieures.

 

Auquel cas :

f admet une limite finie en x0
si et seulement si
les limites à droite et à gauche sont égales à un même nombre fini

 

On a alors :

 

* Dans la pratique :
on calcule les limites de chaque côté en utilisant les définitions de f(x) qui y correspondent ; si ces deux limites sont un même nombre fini alors la limite existe et vaut ce nombre.

 

illustration graphique
D ’après la définition :
« Aussi étroit que l’on choisisse l’intervalle autour de , si les x sont assez proches de x0 alors leurs images sont dans cet intervalle. »

 

Pour une abscisse assez proche de x0,
toute la courbe se retrouve donc dans la partie violette.

Or comme l’on peut rendre ces deux
bandes aussi étroites que l’on veut …

La courbe tend donc à passer par le point M0 de coordonnées : (x0 ; )

Si de plus, f est définie en x0 alors deux cas de figure peuvent se présenter :

 

2/ Cas n° 1 : continuité en un point

Si M0 est un point de la courbe de f alors :
f (x) = D'où

 

La courbe peut alors être tracée « sans lever le crayon » sur un intervalle comprenant x0 . On dit dans ce cas que la fonction f est continue en
ou encore qu’elle est continue au point x0
« Point » est à prendre ici au sens d’un résultat valable ponctuellement
par opposition à un résultat valable sur tout un intervalle.
( cas que nous allons voir dans la suite )

 

la fonction f est donc continue en x0 si et seulement si :

 

Ou encore, si et seulement si :

Autrement dit : si la limite existe et vaut f (x)

 

3/ Cas n°2 : discontinuité en un point

Si M0 n’est pas un point de la courbe de f alors : f (x0)

f étant une fonction, sa courbe ne peut passer par deux points qui ont même abscisse mais une ordonnée différente, il y a alors un « saut » dans le tracé.

La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle comprenant x0 « sans lever le crayon ».

On dit que la fonction f n’est pas continue en x0 ou encore qu’elle est discontinue en x0

 

 

Dans le cas de discontinuité illustré, et f (x0) , mais le cas de discontinuité la plus fréquemment rencontrée est le cas d’une fonction définie de façon différente à gauche et à droite de x0

Exemple :

Soit f définie sur R par :

Donc, la limite en 0 n’existe pas.

Conséquence : f ne peut être continue en 2.
Graphiquement : La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle comprenant 0, « sans lever le crayon ».

 

4/ Prolongement par continuité

Si mais que f n’est pas définie en x0Prolongement par continuité , f ne peut être continue en x0

Cependant, si on « bouche le trou » se trouvant sur la courbe, on peut alors la tracer sans lever le crayon.

Cependant, si on « bouche le trou » se trouvant sur la courbe, on peut alors la tracer sans lever le crayon.

Auquel cas, il faut donc rajouter dans la définition de la fonction : f (x0)

On dit alors que l’on fait un prolongement par prolongement par continuité de f en x0

 

5/ Continuité sur un intervalle : définition

Fonctions de référence :
* Les fonctions affines, polynômes, trigonométriques et valeur absolue sont continues sur R.
* Les fonctions rationnelles ( quotient de deux polynômes ) sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
* La fonction racine est continue sur ] 0 ; [
Et grâce aux propriétés qui suivent on peut s’appuyer sur la continuité de ces fonctions pour en déduire la continuité d’autres, en effet :
Toute somme, différence ou produit de fonctions continues sur I est continue sur I.

est continue sur I, si u et v sont continues sur I et si v ne s’annule pas sur I.
De plus, si besoin est, on peut ramener ces résultats à quelque chose de plus local, car :
Si f est continue sur un intervalle Ialors f est continue sur tout intervalle inclus dans I.

 

Remarques importantes :
On ne parlera de continuité sur un ensemble que si cet ensemble est un intervalle.

 

La continuité est une notion très importante en mathématiques : elle va nous être utile à plusieurs reprises dès cette année de terminale, où nous la croiserons dans des problèmes de recherche de limites de suites, des problèmes d’existence de solutions d’équations, d’existence de fonction réciproque ou encore d’existence de primitive d’une fonction.

Les propriétés liées à la continuité d’une fonction sur un intervalle seront étudiées dans le module traitant du théorème des valeurs intermédiaires.
Module où la notion d’intervalle sera revue avec précision et où l’on démontrera un résultat dont nous allons avoir besoin dès ce module-ci, à savoir :
Si f est continue sur l’intervalle I, alors l’image de I par f est un intervalle.
Ce résultat est en particulier indispensable pour parler de continuité d’une fonction composée.

 

6/ Continuité d’une fonction composée


Continuité en un point

Si g est continue en x0 et si f est continue en g (x0) alors est continue en x0
Continuité sur un intervalle
Si g est continue sur l et si f est continue sur g (l) alors est continue sur l .