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Cours maths Terminale S

Evènements

A partir d’un exemple concret d’expérience aléatoire, les notions d’issue, d’univers et d’évènement sont tout d’abord définies. Le vocabulaire ensembliste lié à la manipulation des évènements est révisé.

 

1/ Univers, évènements

Considérons une expérience aléatoire (lancer de dés, tirage de boules d’une urne etc…)

Les résultats possibles de cette expérience sont appelés des issues.

Les issues de l’expérience sont notées : e1 ; e2 ; ... ; ou


Nous verrons plus loin les raisons de ces deux notations.

L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers et noté (Se lit « oméga ». C’est un oméga, majuscule.
Cet oméga majuscule, étant l’ensemble des issues, il est cohérent que l’on note celles-ci à l’aide d’un oméga, minuscule : )
Exemple :
Soient un jeton à deux faces numérotées 1 et 2 et un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
Et soit l’expérience aléatoire qui consiste à jeter simultanément le jeton et le dé puis à noter le résultat sous la forme d’un couple.

Alors :
= { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6 );( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 )}

Rappel :
le nombre d’éléments d’un ensemble E est appelé cardinal de E et noté : card E

Ici : card = 12

On appelle événement, toute partie ou sous-ensemble de l’univers

Exemples :

Évènement A : « le chiffre sur le jeton est 1 ».
A = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6) }
Et card A = 16

Évènement B : « au moins un des chiffres obtenus est pair ».
B = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ); ( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 ) }
et card B = 6

Événement C : « les 2 chiffres obtenus sont pairs »
C = { ( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }
et card C = 3

 

Parmi ces événements ou sous-ensembles, il existe des cas particuliers :
* L’ensemble vide, Ø, représente un événement impossible.
Et card Ø = 0.

 

Exemple d’événement impossible :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est strictement supérieur à 2 ».

* L’univers,, représente un événement certain.

 

Exemple d’événement certain :
Événement B : « le chiffre sur le dé n’est pas nul ».

 

* Tout événement réduit à un seul élément est appelé événement élémentaire.
D = { ( 1 ; 3 ) } est par exemple un événement élémentaire.

 

* Tout événement, non impossible, est la réunion d’événements élémentaires, qui sont les singletons formés avec les éléments qui constituent cet événement.
C = { ( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) } ={ ( 2 ; 2 ) } U { ( 2 ; 4 ) } U { ( 2 ; 6 ) }
En particulier, , est la réunion de tous les événements élémentaires.
D’où la notation ei, adoptée pour les issues.
Attention à ne pas confondre, l’issue ei qui est un élément de et l’événement élémentaire {ei} qui est un sous-ensemble de , formé avec ei

 

2/ Intersections, réunions, événements incompatibles

* Soient A et B deux événements de l’univers
L’événement est l’événement « A et B ».
Autrement dit :

Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est 1 ».

Événement B : « au moins un des chiffres obtenus est pair ».

Événement A et B : «le chiffre sur le jeton est 1 et au moins un des chiffres obtenus est pair ».

Événement égal à l’événement : « le chiffre sur le jeton est 1 et le chiffre sur le dé est pair ».

Soit : = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ) }
Résultat que l’on peut retrouver d’un point de vue purement ensembliste, en effet :
A = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6) }
B = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ); ( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 ) }

D'où = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ) }

 

* Soient A et B deux événements de l’univers
Les événement A et B sont dits incompatibles si = Ø.
Autrement dit, si l’événement « A et B » est impossible.
Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est 1 ».

Événement C : « les 2 chiffres obtenus sont pairs ».
A et C sont incompatibles.

Du point de vue ensembliste :
A = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6) }
C = { ( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }
On a bien : = Ø.

 

* Soient A et B deux événements de l’univers
L’événement est l’événement « A et B ».
Autrement dit :

 

Exemple :
Événement A : «le chiffre sur le jeton est 2 ».

Événement B : « le chiffre sur le dé est pair ».

Événement A ou B : «le chiffre sur le jeton est 2 ou le chiffre sur le dé est pair ».

Événement égal à l’événement : « au moins l’un des deux chiffres est pair ».

Soit = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 );(2 ; 1);( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );(2 ; 6 ) }

Résultat que l’on peut retrouver d’un point de vue purement ensembliste, en effet :
A = { ( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 ) }
B = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ) ;( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }

D'où = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 );(2 ; 1);( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );(2 ; 6 ) }

 

 

Soient A et B deux événements de l’univers

 

Cas particulier n° 1 : A et B incompatibles

 

 

Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le dé est plus grand que 3 »
Événement B : « le chiffre sur le dé est plus petit que 2 »

 

Cas particulier n° 2 : A et B incompatibles et =

 

On dit alors que A et B réalisent une partition de l’univers

 

Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est 2 »
Événement B : « le chiffre sur le jeton est 1 »

 

Comme vu dans le module sur le dénombrement, réaliser une partition d’un ensemble E est une bonne technique pour compter tous les éléments de E et surtout, ne pas compter deux fois un même élément.

 

2/ Événement contraire

Soit A un événement de l’univers

 

L’événement est l’ événement contraire de A et se lit « A barre » .

Il peut également être lu comme étant l' événement « non A », en raison de la définition de l’appartenance d’un élément à qui est la suivante :

Soit ei élément de : Soit ei élément de :

 

 

Exemple n° 1:
Événement A : « le chiffre sur le jeton est un »

Événement : « le chiffre sur le jeton n’est pas un »

Et comme A et font partie d’un univers où si le chiffre sur le jeton n’est pas un, il vaut 2 :
l’événement est donc égal à : « le chiffre sur le jeton est 2 »

Mais attention, dépend de l’univers dont A est une partie, car est l’ensemble complémentaire de A dans

* Si nous sommes dans un nouvel univers où le jeton peut tomber sur la tranche qui vaut 3 alors :
l’événement devient : « le chiffre sur le jeton est égal à 2 ou 3 ».

 

Soit A un événement de l’univers

 

 

Par définition de l’événement contraire : A et sont incompatibles et
Donc A et réalisent une partition de

 

Par conséquent :
Ce qui comme nous allons le voir dans l’exemple suivant va être fort utile pour dénombrer A :

 

Exemple n° 2:
Événement A : « au moins un des deux chiffres est pair ».

Cet événement est long à dénombrer car il recouvre le cas où un seul chiffre sur les deux est pair et le cas où les deux chiffres sont pairs.
Conseil : Il faut acquérir le réflexe d’utiliser l’événement contraire chaque fois que la formulation d’un événement utilise la formule « au moins un »
Dénombrer ce type de cas, oblige à réaliser une partition de l’événement.
Ici la partition de A serait :
Événement A1 : « un chiffre exactement est pair ».
Événement A2 : « deux chiffres exactement sont pairs ».

Il est donc plus rapide d’utiliser l’événement contraire qui est :
Événement : « il y a moins d’un chiffre pair sur les deux chiffres ».
Égal à : « aucun chiffre n’est pair » ou encore : « les deux chiffres sont impairs ».

D’où = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 3 );( 1 ; 5 ) }
card = 3 donc card A = card - card = 12 - 3 = 9

 

3/ Probabilités : cas général

Lors d’une expérience aléatoire,
la probabilité pour qu’un événement élémentaire {ei} se produise est notée p(ei)

Cette probabilité est un nombre qui ramené à un rapport sur 100,
représente le pourcentage de chance pour que l’issue ei se produise
lors d’une réalisation de l’expérience aléatoire.

On a donc l’encadrement suivant :


Si A est un événement non élémentaire, par exemple si A = {e1 ; e3 ; e5}

alors :

La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités
des événements élémentaires qui le composent.

 

En particulier : = { e1 ; e2 ; ... en}
Donc : p() = p(e1) + p(e2) + ... p(en)
Or, est un événement certain donc le pourcentage de chances pour qu’il se produise lors de la réalisation d’une expérience aléatoire est de 100.
D’où :

 

Soit :

 

Par conséquent :

La somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1.
A l’opposé de l’univers tout entier, il y a le vide.

Or, Ø est un événement impossible donc le pourcentage de chances pour qu’il se produise
lors de la réalisation d’une expérience aléatoire est nul.

 

3/ Probabilités : cas d’équiprobabilité

Si quels que soient i et j : p(ei) = p(ej)
Autrement dit, si les événements élémentaires ont tous la même probabilité de se produire,on dit que les issues sont équiprobables, ou encore, que l’univers est équiprobables.
Or, si card = n, il y a n issues possibles et p(e1) + p(e2) + ... p(en) = 1
Soit dans le cas de l’équiprobabilité : n x p(ei) = 1
D’où, quel que soit i, compris entre 1 et n :
Dans notre exemple, l’univers est équiprobable si la pièce et le dé sont équilibrés.
autrement dit, s’ils sont non truqués ou non pipés.
On a alors :
Dans le cas d’un tirage de cartes ou de boules, l’univers est équiprobable si les boules sont indiscernables au toucher et les cartes indiscernables à la vue.

 

Tout événement A a pour probabilité la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent, donc :

 

Dans le cas d’un univers équiprobable, le calcul d’une probabilité se ramènera donc à savoir dénombrer l’univers et ses sous ensembles.
Exemple :
Événement A : « un seul des deux chiffres est pair ».
Alors : A = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }
card A = 5 card = 12

donc :

 

3/ Probabilités : propriétés

Les propriétés suivantes sont valables dans tous types d’univers.
Leurs démonstrations seront, elles, seulement données dans le cas d’équiprobabilité.

Soient A et B deux événements d’un univers

 



 

Conséquence n°1 : si A et B sont incompatibles :

donc:

 

Conséquence n°2 :

Qui sera le plus souvent utilisée sous la forme : p (A) = 1 - p ()

 

Conséquence n°3 : si A1 ; A2 ; ... ; An réalisent une partition de A alors :

 

4/ Variable aléatoire : définition

Exemples :
Continuons avec notre expérience consistant à lancer un jeton et un dé.
= { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6 );( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 ) }
A partir de l’univers que cette expérience engendre, il est possible de définir une infinité de variables aléatoires.
Exemple n° 1 :
La variable aléatoire attachée à chaque issue est égale à la somme des chiffres de l’issue.
Les valeurs possibles de la variable sont alors : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Exemple n° 2 :
La variable aléatoire attachée à chaque issue est égale au nombre de chiffres pairs de l’issue.
Les valeurs possibles de la variable sont alors : 0, 1, 2.
Attention : il n’est pas rare d’oublier le cas 0,quand on liste les valeurs possibles d’une variable aléatoire.

 

Plus généralement :

Une variable aléatoire est une fonction, notée X, définie sur et à valeurs dans R.

Exemple n° 1 : (a ; b) a + b

 

4/ Variable aléatoire : ensembles définis à l’aide de X

Soit X variable aléatoire définie sur

les valeurs possibles de la variable sont notées xi
{ x1 ; x2 ; ... ; xp}
L’ensemble des antécédents de xi par X est un sous-ensemble de il s’agit donc d’un événement, qui peut être noté : [ X = xi ] ou ( X = xi )

 

Avec l’exemple n° 1 :
[ X = 4 ] : « la somme des chiffres vaut 4 »
[ X = 4 ] = { ( 1 ; 3 );( 2 ; 2 ) }

On peut également définir des événements à l’aide d’inégalités sur X :
[ X < 4 ] : « la somme des chiffres est strictement inférieure à 4 »
Il est alors pratique de réaliser une partition d’un tel ensemble, pour le définir et le dénombrer.

Ici : [ X < 4 ]=[ X=2 ] [ X=3 ]={ ( 1 ; 1 ) } U { ( 1 ; 2 );(2 ; 1) }={ ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );(2 ; 1) }

 

4/ Variable aléatoire : loi de probabilités

A chaque événement [ X = xi ] est associée une probabilité.
Avec l’exemple n° 1 :
[ X = 4] = { ( 1 ; 3 );( 2 ; 2 ) }
Donc, si l’univers est équiprobable :
En affectant, à chaque événement [ X = xi ] sa probabilité, on dit que l’on définit la loi de probabilité de X.

Concrètement, définir la loi de probabilité d’une variable X, c’est :
1° lister les valeurs possibles de la variable.
2° remplir le tableau suivant.

Loi de probabilité de X :

 

 

Par souci de simplification d’écriture, les p [ X = xi ] sont notées pi

De plus, comme les événements [ X = xi ] forment une partition de l’univers :

 

 

Il faut donc toujours vérifier si une fois le tableau de la loi de probabilité rempli, la somme de tous les pi vaut bien 1.
Remarque :
Cette propriété est également bien utile quand un des pi est long ou compliqué à calculer.

En effet, si l’on a été capable de calculer tous les autres, le dernier pi peut en être déduit.

Loi de probabilité de X pour l’exemple n° 1 :

 

 

Rappel : dans l’exemple n° 1, X est la somme des chiffres br[ X = 2 ] = {(1 ; 1 )}

 

donc :
[ X = 3 ] = {(1 ; 2) ; (2 ; 1)}
donc:

Ainsi de suite … jusqu’à : [ X = 8] = {(2 ; 6 )}
donc :

 

Et l’on vérifie que la somme des probabilités vaut bien 1 :

 

Loi de probabilité de X pour l’exemple n° 2 :

 

En supposant bien entendu que l’on ne se soit pas trompé dans le calcul des autres probabilités.
Rappel : dans l’exemple n° 2, X est le nombre de chiffres pairs.
Ici, les cas extrêmes sont très faciles à expliciter et à dénombrer :

Par contre, le cas du milieu est un peu long à dénombrer, donc on va utiliser le résultat sur la somme :
Par conséquent :

 

4/ Variable aléatoire : espérance

Loi de probabilité de X :

 

La moyenne des valeurs prises par X affectées de leurs probabilités :

 

 

est la valeur moyenne que l’on peut espérer pour X lors de la réalisation d’une expérience.

 

Cette moyenne est donc aussi appelée, espérance de X et notée E(X).

 

 

4/ Variable aléatoire : gain algébrique, jeu équitable

Reprenons l’exemple n° 2 et créons un jeu d’argent à partir de cette expérience :
- la mise est de 10 €.
- si le joueur n’obtient aucun nombre pair, il gagne 15 €
- si le joueur obtient un unique nombre pair, il perd sa mise.
- si le joueur obtient deux nombres pairs, il gagne 20 €.
Soit G la variable aléatoire qui représente le gain algébrique, c’est à dire le gain, moins la mise de départ.

 

Les valeurs possibles de la variable G sont : +5, -10 et +10.

Nous pouvons évidemment déduire de la loi de probabilité de X, comptant les nombres pairs, la loi de probabilité de G :

 

 

Le joueur peut en moyenne espérer gagner : -1€25. Ce jeu lui est donc défavorable.

 

Si E(G) < 0 , le jeu est dit défavorable au joueur. Il est alors évidemment favorable à l’organisateur du jeu.
Si E(G) = 0 , le jeu est dit équitable..
Si E(G) > 0 , le jeu est dit favorable au joueur.

 

4/ Variable aléatoire : variance, écart type

Le résultat trouvé pour la moyenne ( ou espérance ), a plus ou moins de sens
du point de vue statistique, selon la répartition des valeurs de X autour de cette moyenne.

Il existe donc des paramètres qui permettent de mesurer la pertinence de ce résultat.

Une idée simple est de faire la moyenne des écarts à la moyenne affectés des pi

Mais, un écart positif pouvant compenser un écart négatif, on fait la moyenne des écarts au carré.
Cette moyenne est appelée la la variance de X et notée V(X).

il est possible de démontrer qu'elle vaut également

Pour récupérer l’écart moyen, il faut alors prendre la racine de la variance.

Ce résultat est appelé l’écart type de X et noté avec un petit sigma .
Si cet écart est faible en pourcentage par rapport à E(X) alors la valeur de E(X) a un sens.

 

Sur l’exemple n° 2, transformé en jeu :

 

Alors que l'espérance est de -1,25

Ce qui signifie qu’ici la valeur de l’espérance n’a pas beaucoup de sens, sinon celui d’inciter le joueur à ne pas jouer, le jeu lui étant défavorable.
Remarque :
Si le joueur fait cent parties, en les supposant indépendantes,
il peut en moyenne espérer gagner 100 fois l’espérance, soit : -125 €.

Cette hypothèse est pertinente car le jeu étant de pur hasard,on voit mal comment il pourrait s’améliorer d’une partie à l’autre.