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Cours maths 1ère S

Droites et plans de l'espace

Droites et plans de l'espace

 

Propriétés de base

Propriété 1

Etant donnés deux points A et B distincts de l’espace, il existe une droite et une seule contenant A et B.
On la désigne par (AB)

Propriété 2

Etant donnés trois points A , B et C non alignés, il existe un plan et un seul noté (ABC), contenant ces trois points.

Définition

Quatre points A , B , C et D de l’espace sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

Propriété 3

Si A et B sont deux points distincts, la droite (AB) est contenue dans tous les plans passant par A et B.

 

Détermination d’un plan

Un plan est déterminé par l’une des quatre situations suivantes :

►Trois points non alignés
► Deux droites sécantes



► Deux droites parallèles non confondus
► Une droite et un point n’appartenant pas à la droite

 

Position relative de deux plans

Deux plans de l’espace sont :

► Soit sécants suivants une droite D

► Soit strictement parallèle

► Soit confondus

Deux plans sont dits parallèles s’ils strictement parallèles ou confondus

Propriété

1) Si deux plans distincts ont au moins un point commun, alors ils sont sécants.

2) Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux:
si et alors

3) Si sont parallèles et si alors sont parallèles :
si et alors

(transitivité de la notion du parallélisme)

Méthode

Pour déterminer l’intersection de deux plans, il suffit de trouver deux points communs aux deux plans. L’intersection de ces deux plans est la droite contenant ces deux points.

 

Position relative d’une droite et d’un plan

► La droite D et le plan P sont sécants

La droite D et le plan P on un seul point en commun = le point A.

Méthode

► La droite D est parallèle au plan P :

• La droite D est strictement parallèle au plan P

La droite D et le plan P n’ont aucun point en commun

• La droite D est incluse dans le plan P

On note

Propriétés
Propriété 1

Si une droite D contient deux points A et B d’un plan P, alors la droite D est incluse dans ce plan.

Propriété 2

Pour qu’une droite soit parallèle à un plan, il Faut et il suffit qu’elle soit parallèle à une droite.

Propriété

Pour que deux plans soient parallèles il suffit que l’un des deux continue deux droites sécantes parallèles à l’autre.

Si
sécantes ,
alors

Remarques

Attention !

• Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèles entre elles.

mais

n’est pas parallèle à

Deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre eux.

 

Position relative d’une droite et d’un plan

Deux droites de l’espace sont :
- soit coplanaires : elles sont alors parallèles ou sécants ,
- soit non coplanaires : elles ne sont ni parallèles ni sécants.

et sont coplanaires

et sont non coplanaires

Propriété

Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
2) Si est parallèles à et est parallèle à alors est parallèle à

 

Règles d’incidence

Propriété

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites intersection sont parallèles entre elles.

Si et P sécant à alors P est

sécant à et

Propriété

Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.

 

Théorème du toit

Théorème

Soient P et P’ deux plans de l’espace sécants suivant une droite . Si une droite de P est parallèle à une droite D’ de P’ , alors est parallèle à D et D’.

 

Orthogonalité de deux droites

Deux droites et sont dites orthogonales si l’une des parallèles à coupe perpendiculairement

et sont perpendiculaires

Remarque

Les deux mots « orthogonal » et « perpendiculaire» ne sont pas synonymes.

Deux droites sont dites perpendiculaires lorsqu’elles sont sécantes, donc coplanaires et se coupent suivant un angle droit.

Exemples

Les droites (AE) et (BC) sont orthogonales.
Les droites (AE) et (AD) sont Perpendiculaires (et orthogonales).

Deux droites orthogonales à une même troisième droite ne sont pas nécessairement parallèles.

Les droites (EF) et (FB) sont perpendiculaires à la (FG) mais elles ne sont pas parallèles !

 

Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Définition

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.

La droite D est orthogonale en plan P . Elle est orthogonale aux droites et plus généralement à toute droite contenue dans le plan P.

Propriété

Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan alors elles sont parallèles.

 

Plan médiateur

Définition

Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaires à ce segment en son milieu.

Le plan P est le plan médiateur du segment [AB]. Est le milieu du segment [AB]

Caractérisation du plan médiateur

Le plan médiateur d’un segment [AB] est l’ensemble des Points équidistants de A et de B.

P est le plan médiateur du segment [AB].