Cours maths Terminale S

Complexes - forme algébrique

Dans ce module, introduction algébrique et manipulation de nouveaux nombres : les nombres complexes.
Après un bref rappel sur la construction de l’ensemble des nombres réels, un premier nombre non réel est défini : i.

 

1/ Rappels sur la construction des nombres réels

Jusqu'en classe de cinquième tu as travaillé avec des nombres entiers naturels :


des nombres entiers relatifs


des nombres décimaux


et des nombres rationnels


Puis en quatrième, à la fin de problèmes géométriques utilisant le théorème, tu as eu à résoudre des équations du type : x² = 2


cette équation n'ayant pas de solution dans ℚ .... on a dû completer ℚ avec un nouveau nombre, appélé racine carrée de 2. Qui vérifie donc:
et qui n'étant pas un nombre rationnel est qualifié de nombre irrationnel.

Attention

Cette équation a en fait deux solutions, et en est la solution positive.

La solution négative étant son opposée :

Plus généralement on a aussi complété ℚ avec des solutions rationnelles des équations du type X ² = a.

Cependant X ² reste toujours positifs en raison de la règle du signe d'un produit.

a qui lui ai égal ne peut être choisi que parmis les nombres positifs.

C'est pourquoi l'équation X ² = - 1 , en particulier n'a pas de solution.

A ces irrationnels solutions de l'éqution du second degré se rajoutent, une infinité d'autres irrationnels :
certains que tu connais depuis longtemps...

Et d'autres que tu vas rencontrer en cette année de terminale.

La reunion des nombres rationnels et irrationnels forme l'ensemble des nombres réels.

ils sont qualifiés de réels car ils permettent de quantifier tout ce qui dans notre réalité peut se voir assigner une valeur.

 

2/ Création d’un nouveau nombre

Comme nous l'avons, en raison de la règle des signes, l'équation : X ² = - 1 ne peut avoir une solution réelle.

C’est pourquoi, pour compléter IR,les mathématiciens ont imaginé un nouveau nombre, noté i.
Et vérifiant donc :

 

3/ Construction des nombres imaginaires purs

Une fois imaginé i, on a ensuite généré une infinité de nouveaux nombres en multipliant i par les nombres réels.

Obtenant ainsi un ensemble "miroir" de l'ensemble des nombres réels appélés ensemble des nombres imaginaires purs noté Ri .

puis pour pouvoir calculer sur cet ensemble, on la muni des mêmes opérations que IR, obéissant aux mêmes règles de calcul.

C'est pourquoi, en particulier :
0 i = 0 x i = 0
0 étant donc un nombre à la fois réel et imaginaire pur.

En utilisant les propriétés de la multiplication onobtient également :
(4i)² = 4² x i² = (16) x (-1) = -16

plus généralement un nombre imaginaire se note yi, avec y élement de R.

En général, on utilisera si possible la variable y pour noter un imaginaire pur.
( Ceci pour des raisons géométriques. )

Et (yi)² étant égal à : -y².

Les nombres imaginaires purs sont donc des nombres dont le carré est
toujours nombre réel négatif.

Première conséquence
0 est le seul nombre à la fois réel et imaginaire pur.

Deuxième conséquence
Les équations du type X ² = a avec a ont maintenant elles aussi deux solutions imaginaires pures.
Par exemple X ² = - 4 a pour solution 2i et -2i.

De même, un discriminant négatif, tel que
Δ − 5

possède à présent deux racines imaginaires pures opposées

 

4/ Construction des nombres complexes

Maintenant, que se passe-t-il lorsqu'on ajoute un nombre réel et un nombre imaginaire pur, non nuls ?

On obtient alors un nombre qui n'est un réel, ni un imaginaire pur.

La reunion des réels, et des imaginaires purs et des nouveaux nmbres ainsi fabriqués forment un nouvel ensemble appélé ensemble des nombres complexes.

La variable utilisée pour nommer les nombres complexes est Z.

Exemple

 

5/ Caracterisation des réels et des imaginaires purs

Soit élément de nombres complexes ℂ

et donc :



autrement dit :
un nombre complexe est nul
si et seulement si
sa partie réelle ET sa partie imaginaire sont nulles
(sur le graphique notée 0 )

 

6/ Calcul dans nombres complexes ℂ

ℂ (nombres complexes) est muni des mêmes opérations que R et Ri , obéissant aux mêmes règles de calcul.

Quelques exemples :
Une addition de nombres complexes :


Une multiplication de nombres complexes:


Une division d'un complexe par un réel :

Attention !

Le calcul n'est véritablement terminé que lorsquele resultat est écrit sous forme algébrique
z = x + yi .

Une division d'un complexe par un imaginaire pur :

Pour arriver à la forme algébrique il faut ici arriver à se debarrasser de i au denominateur, en commençant par scinder la fraction.

En suite on multiplie le numérateur et le dénominateur par la fraction i.

* Un premier calcul utilisant une identité remarquable :

* Un deuxième calcul utilisant une identité remarquable :

Et enfin une division d’un complexe par un complexe ni réel ni imaginaire pur :

Dans ce cas aussi,il faut arriver à se débarrasser de i au dénominateur…
…mais impossible de scinder la fraction.

 

7/ Définition et calcul du conjugué d’un nombre complexe

La technique que l'on vient d'utiliser est en fait exactement la même
que celle que l'on utilise quand on veut se debarrasser
des racines carrées au dénominateur, à savoir :
la technique de la quantité conjuguée.

C'est pourquoi : 3 - 4i est appélé le conjugué de 3 + 4i.

Plus généralement, si   z = x + yi   , son conjugué vaut    x - yi   

Exemple

Si alors
Si z = − 5 alors

plus généralement si z est réel alors


Si z = 3i alors
plus généralement si z est imaginaire pur alors


Si z = 3i - 2

Attention !

c'est l'erreur classique due au fait que cette écriture n'est pas la forme algébrique.

Il faut donc acquérir de toujours mettre un nombre complexe sous forme algébrique .

alors

 

8/ Lien entre conjugué et parties réelles et imaginaires

Soit élément de ℂ


et

 

9/ Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide du conjugué

On a déjà vu les deux sens directs, à savoir :

Montrons les deux réciproques :
On vient de prouver :
Donc si Im(z) = 0
D'où, si alors z réel.

On a également prouvé :
Donc si :
D'où, si alors z imaginaire pur.

Remarque:

Il faut savoir utiliser ces équivalences dans les deux sens :
- Pour calculer le conjugué d’un réel ou d’un imaginaire pur.
- Pour prouver qu’un nombre complexe est réel ou imaginaire pur.

 

10/ Propriété fondamentale du conjugué d’un nombre complexe

Soit z = x + yi = Re(z) + Img(z) i element de ℂ
Démontrons pour tout z, ce que nous avons déjà vu pour 3 - 4i, à savoir :

C'est LA grande propriété du conjugué, celle pour laquelle il a été inventé

Remarque

Le produit d’un nombre complexe par son conjugué est donc toujours un nombre réel positif

.

 

11/ Propriétés algébriques du conjugué d’un nombre complexe

le conjugué d'un nombre complexe possède également les propriétés suivantes :

Enfin conséquence de 3 et 5

La démonstration de chacune de ces propriétés pourra faire l'objet d'un R.O.C.