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Cours maths 1ère S

Barycentre de trois points

Barycentre de trois points

 

Barycentre de trois points

Théorème et Définition

Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que .
Alors, il existe un unique point G tel que

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).

On dit aussi que G est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients a, b et c.

Remarque

Si , on ne peut pas définir le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c).

 

Existence et unicité du barycentre

Démonstration

La preuve est identique à celle du cas de deux points.
On a

On en déduit

et puisque

d’où l’existence et l’unicité du point G.

Exemple

Soient A, B et C trois points du plan et G le barycentre de (A, -2), (B, 1) et (C, 2).

On a

 

Isobarycentre

Un point important à retenir :

Définition

Pour tout nombre réel a non nul, le barycentre de (A, a), (B, a) et (C, a) est appelé isobarycentre ou centre de gravité de A, B et C.

 

Propriété de réduction du barycentre

Propriété

Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) avec a+b+c ≠ 0.
Alors, pour tout point M du plan ou de l’espace, on a

La démonstration est identique à celle du cas de deux points.

Remarque

Pour M=A on obtient

et on retrouve la formule

Une propriété du barycentre

Propriété

Le barycentre de trois points non alignés A, B et C appartient au plan (ABC).

On dit que les points A, B, C et G sont coplanaires.

Démmonstration

Soit G le barycentre des points (A, a), (B, b) et (C, c) avec a+b+c ≠ 0.
Nous avons vu que

Les vecteurs , et sont donc coplanaires et le point G appartient au plan (ABC).

 

Coordonnées du barycentre

►Dans le plan

Soit un repère du plan.

Soient A, B et C trois points du plan de coordonnées respectives

(xA, yA), (xB , yB) et (xC, yC) et soient a, b et c trois nombres réels tels que   a+b+c ≠ 0.

Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et soient (xG, yG) les coordonnées de G dans le repère .

D’après la propriété de réduction du barycentre appliquée au point 0 on a

d’où

On en déduit les coordonnées de G :

 

►Dans l'espace

Soit un repère de l’espace. Soient A, B et C trois points de l’espace de coordonnées respectives  (xA, yA, zA),  (xB, yB, zB)   et   (xC, yC, zC)   et soient a, b et c trois nombres réels tels que   a+b+c ≠ 0.

Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et soient (xG, yA, zA) les coordonnées de G dans le repère .

Alors on a

d’où les coordonnées de G :


 

Associativité du barycentre

Théorème

On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d’entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants.

Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés avec a+b+c ≠ 0 et a+b ≠ 0.

Si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et si H est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).

Démonstration

Puisque G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c), on a

     1)

Comme H est le barycentre de (A, a) et (B, b), on a, d’après la propriété de réduction,

d’où en remplaçant dans (1) :

ce qui signifie que G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).

Application de l’associativité du barycentre

L’associativité du barycentre nous fournit une méthode de construction du barycentre de plusieurs points.

Exemple

Construire le barycentre G des points (A,2), (B, 1), (C, 1) et (D, -2).

Commençons par construire le barycentre H de (B, 1) et (C, 1).

H est le milieu du segment [BC].

Par associativité du barycentre, G est le barycentre de (A, 2), (H, 2) et (D, -2).

Soit I le barycentre de (A, 2) et (H, 2).
I est le milieu du segment [AH].

Par associativité du barycentre, G est le
barycentre de (I, 4 ) et (D, -2).

On a donc

c’est-à-dire

ou encore

ou