Cours maths 1ère S

Barycentre de deux points

Barycentre de deux points

Un peu d'histoire

Le barycentre qui vient du grec barus (lourd, pesant) et de centre, est initialement le centre des poids. Il s’agit donc à l’origine d’une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l’on appelle aujourd’hui centre de gravité, est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ.

Il a écrit dans son traîté sur le centre de gravité des surfaces planes :

« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »

Son principe des moments et des leviers lui a permis de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m1 et m2 différentes.

Pour que l’équilibre soit atteint, il faut que les moments m1OA et m2OB soient égaux. Cette condition se traduit par l’égalité vectorielle :

 

Point pondéré, point massif

Définition

Un point pondéré est un couple (A, a) où A est un point du plan ou de l’espace et a est un nombre réel quelconque.
Un point pondéré est aussi appelé point massif ou point coefficient.
Le nombre réel a est appelé masse ou poids ou coefficient du point A.

 

Barycentre de deux points

Théorème et Définition

Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés tels que .
Alors, il existe un unique point du plan noté G tel que

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A , a) et (B , b).

On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.

Existence et unicité du barycentre

Démonstration

On cherche un point G vérifiant

D’après la relation de Chasles, on a

On en déduit

c’est-à-dire

et puisque

Il existe donc un unique point G vérifiant

 

Point G

Sur la figure les vecteurs et sont opposés. On a donc ce qui signifie que G est le barycentre des points pondérés (A, 3) et (B,1) car

Remarques

1) Si a+b=0 on ne peut pas définir le barycentre de (A, a) et (B, b)

.

2) Si , le barycentre de (A, a) et (A, b) est le point A lui-même.

 

Isobarycentre

Définition de l’isobarycentre

Pour tout nombre réel a non nul, le barycentre de (A, a ) et (B, a) est appelé isobarycentre de A et B.

Propriété

L’isobarycentre de A et de B est milieu du segment [A B].

Démonstration

Si G est l’isobarycentre de (A, a) et de (B, a) avec , alors on a

c’est-à-dire

Puisque , on en déduit

et donc

ce qui montre que G est le milieu du segment [AB].

Remarque

Le préfixe iso signifie égal.

L’isobarycentre de deux points est le barycentre de ces points affectés de masses égales.

 

Homogénéité du barycentre

Propriété

On ne change le barycentre de deux points massifs en multipliant ou en divisant les coefficients par un même nombre non nul.

Démonstration

Soient A et B deux points et a et b deux nombres réels tel que .

Soit k un nombre réel non nul et soit G le barycentre de (A, ka) et (B, kb).

Alors on a

si et seulement si

et puisque , cela équivaut à

ce qui montre que G est le barycentre de (A, a) et de (B, b).

 

Propriétés du barycentre

Exemple

Le barycentre de (A, 2) et (B, 3) est aussi celui de (A, 1) et (B, 3/2), celui de (A, 2/3) et (B, 1), celui de (A, 4) et (B, 6),…

►Propriétés du barycentre

• Si A et B sont deux points distincts tout barycentre G de (A, a) et (B, b) avec appartient à la droite (AB).

• De plus, si a et b sont de même signe , le barycentre G appartient au segment [AB]

Démonstration

• On a vu que si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) avec ,

alors on a

donc les vecteurs et sont colinéaires et les points A, B et G sont alignés.

• Si a et b sont de même signe, on peut se ramener en utilisant l’homogénéité du barycentre au cas où a et b sont tous les deux positifs.

Supposons donc a et b positifs

On a alors

et comme ,

L’égalité et les inégalités

entraînent que le point G appartient au segment [AB].

 

Propriété de réduction

Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés

tels que et soit G leur barycentre.

Alors, pour tout point M du plan ou de

l’espace, on a

Démonstration

Pour tout point M, on a, d’après la relation de Chasles :

Or G est le barycentre de (A, a) et (B, b) donc

d'où

Exemple

G est le barycentre de (A, 1) et (b, 2 ) car

Et on a

Remarques

1 ) Il s’agit d’une propriété importante du barycentre qui permet de remplacer une somme vectorielle par un seul vecteur.

2 ) Si a+b =0, alors (A, a) et (B, b) n’ont pas de barycentre ; dans ce cas on a

Lorsque a+b = 0, le vecteur est donc indépendant du point M choisi.

 

Coordonnées du barycentre dans un repère

► Dans le plan

Soit un repère du plan.

Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives

(xA, yA) et (xB , yB) dans le repère .

.

Alors, le barycentre G de (A, a) et (B, b) avec a+b ≠ 0 a pour coordonnées

Démonstration

En utilisant la propriété de réduction en prenant M=0, on a

d’où

Les vecteurs et étant égaux, ils ont les mêmes coordonnées dans le repère .

Démonstration

Le vecteur a pour coordonnées et le vecteur a pour coordonnées

d’où les coordonnées de G

 

Coordonnées du barycentre dans un repère

►Dans l'espace

Soit un repère de l’espace. Soient A et B deux points de

l’espace de coordonnées respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB) dans le repère .

Alors, le barycentre G de (A, a) et de (B, b) avec a+b ≠ 0 a pour coordonnées