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Cours maths 1ère S

Angles orientés

Angles orientés.

 

Cercle trigonométrique

Dans tout ce chapitre le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, , ).

Définition

Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct (appelé sens positif ou sens trigonométrique) qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles d’une montre.

Le sens de rotation des aiguilles d’une montre est appelé sens indirect ou sens négatif.

 

Repérage sur le cercle

Pour tout nombre réel t, on appelle image sur le cercle C, le point M obtenu en se déplaçant
d’une longueur | t | sur C à partir de :
- dans le sens direct si t est positif,
- dans le sens indirect si t est négatif.

Propriété

Tout point du cercle trigonométrique est l’image d’une infinité de nombres réels.
Si t est l’un d’entre eux, les autres nombres réels sont de la forme   t + k x 2 π   où   k ∈ ℤ

Associer un point du cercle à un nombre réel, c’est-à-dire à un point de la droite, revient à enrouler la droite sur le cercle.

Si t et t’ sont deux nombres réels qui ont la même image sur le cercle, alors l’enroulement de la droite sur le cercle de t à t’ correspond à un nombre entier k de tours du cercle.

Le périmètre du cercle étant     , k tours du cercle correspondent   k x 2π  à   t' = t + k x 2π   et avec  k   positif si pour aller de  t   à   t'   on a enroulé la droite dans le sens positif et   k  négatif si on a enroulé la droite dans le sens négatif.

Exemple

Le point K est l’image de mais aussi de de

 

Angles orientés et mesures

Soient et deux vecteurs non nuls M et N les points tels que

et M’ et N’ les points d’intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique C.

 

Définition

L’angle orienté ( , ) est l’angle de la rotation r de centre O qui transforme M’ en N’.

Soit l’image du point par cette rotation. Les mesures de l’angle orienté ( , ) sont les nombres réels t dont est l’image sur C.
On admet que cette définition est indépendante du repère choisi.

 

Remarque

( , ) désigne aussi bien l’angle orienté des deux vecteurs et que l’une de ses mesures.

Attention

A ne pas confondre un angle géométrique et un angle orienté.

 

Angles géométriques :

 

Angles orientés :

Un angle géométrique est toujours positif.
Un angle orienté peut être négatif. Cela dépend de l’orientation choisie.

 

Mesure principale d’un angle orienté

Définition

Parmi toutes les mesures d’un angle orienté , une seule appartient à l’intervalle  ] - π, π]  .
On l’appelle la mesure principale de l’angle orienté .

Soit   α   la mesure principale de l’angle . Alors, les autres mesures de l’angle sont les nombres réels   α + 2kπ   où  k ∈ ℤ
On note

   k ∈ ℤ  

ou

On a ou (en radians).
désigne l’angle géométrique de sommet O.

Exemple

►La mesure principale de l’angle de est

En effet, on a     donc     avec  

►La mesure principale de l’angle     est  

En effet, on a :     donc     avec  

 

Propriétés des angles orientés

Soient et deux vecteurs non nuls

   ►
   ►
   ►
   ►

   ►

– Si   λ   et   - λ   sont deux nombres réels
– Si   λ   et   - λ   sont de même signe :

   ►

   ou

Si   λ   et   - λ   sont de signes contraires

    ou

► Relation de Chasles

 

Vecteurs colinéaires et angles orientés

Soient et deux vecteurs non nuls

et sont colinéaires et de même sens si et seulement si

et sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si

et sont colinéaires si et seulement si

c’est-à-dire avec   k ∈ ℤ  

et colinéaires et de même sens.

et colinéaires et de sens contraires.