Fonctions trigonométriques

Cours maths 1ère S

Fonctions trigonométriques :
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Lignes trigonométriques


  • Quelques points importants à retenir :

Soit  un repère orthonormé du plan et soit C le cercle trigonométrique de centre  O.

Soit M un point du cercle trigonométrique et soit x un nombre réel tel que x soit une mesure en radians de l’angle .


Définitions :

Dans le repère
, l'abscisse du point M est appelée le consinus de x. On le note cos x.

L'ordonnée du point M est appelée le sinus de x. On le note sin x.

La tangente de x, pour est le rapport . On la note tan x.


Propriété :

Pour tout nombre réel x, on a



et




Propriété fondamentale


Soit C le projeté orthogonal de M sur la droite (OI) et soit S le projeté orthogonal de M sur la droite (OJ).

Propriété :

En se plaçant dans le triangle OMC et en utilisant le théorème de Pythagore on obtient :


On en déduit, pour tout

avec


Valeurs remarquables




Etude de la fonction cosinus


Notons f(x) = cos x.

  • La fonction f est définie sur .
  • On a, pour tout ,


La fonction f est donc périodique de période

On peut donc restraindre l'étude de f à l'intervalle .

  • On a, pour tout  et

La fonction f est donc paire et sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

On peut donc restreindre l'étude de f à l'intervalle .

  • L'observation du cervle trogonométrique nous permet de dresser le tableau de variation de la fonction f :


Dérivabilité :

La fonction f est dérivable sur
et on a, pour tout ,

f'(x) = -sin x


Démonstration



Limite :

On a



Démonstration




Courbe représentative de la fonction cosinus





Etude de la fonction sinus



Notons g(x) = sin x.

  • La fonction g est définie sur .
  • On a, pour tout ,


La fonction g est donc périodique de période
.

On peut donc restreindre l'étude de g à l'intervalle
.

On a, pour tout
et


La fonction g est donc impaire et sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'origine du repère.

On peut donc restreindre l'étude de g à l'intervalle
.

L'observation du cercle trigonométrique nous permet de dresser le tableau de variation de la fonction g :


Dérivabilité :

La fonction g est dérivable sur
et on a, pour tout,

g'(x) = cos x

Remarque :



Limite :

On a




Démonstration




Courbe représentative de la fonction sinus





Remarque





Les deux courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont décalées de  car



Interprétation géométrique de la tangente






Démonstration



Soit C le projeté orthogonal de M sur la droite (OI) et soit T l'intersection de (OM) et de la tangente en I au cercle.

Alors, d'après le théorème de Thalès, comme les deux droites (MC) et (TI) sont parallèles, on a

C'est à dire
d'où


Etude de la fonction tangente





Périodicité :

Propriété : La fonction tangente est périodique de période pi.

Démonstration :



On peut donc restreindre l'étude de h à l'intervalle








Courbe représentative de la fonction tangente



On en déduit la courbe représentative de fonction  h :






         Cours complémentaires :

► Généralités sur les fonctions
► Operations sur les fonctions
► Fonctions polynomes
► Fonctions cosinus
et sinus - seconde
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