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Cours maths 1ère S

Fonctions polynomes

Fonctions polynomes

Fonction polynôme

Définition

On appelle fonction polynôme toute fonction f définie sur ℝ pour laquelle il existe un entier naturel n et des nombres réels a0, a1, … , an avec an ≠ 0 tels que :

f(x) = a0 + a1 x + a2 x² + … + xn

Le nombre entier naturel n s’appelle le degré de f.

Les nombres réels a0, a1, … , an s’appellent les coefficients de f.

Exemple 1

La fonction f définie par f(x) = 2x – 7 est une fonction polynôme de degré 1.
Les fonctions affines sont des fonctions polynômes de degré 1.

Exemple 2

La fonction g définie par

Exemple 3

La fonction h définie par h(x) = – 3 est une fonction constante.
Une fonction constante est une fonction polynôme de degré 0 car donc

La fonction n’est pas une fonction polynôme.
Une façon simple de s’en convaincre est de constater qu’elle n’est pas définie sur ℝ puisque le nombre réel 0 n’a pas d’image.

On a pourtant :

De même les fonctions

, ne sont pas des fonctions polynômes.

Remarques

• Une fonction où a est un nombre réel et k est un nombre entier naturel s’appelle une fonction monôme.

• Une fonction polynôme est la somme de fonctions monômes.

• Par abus de langage, on parle souvent de polynôme au lieu de fonction polynôme.

• Un polynôme de degré deux est aussi appelé trinôme du second degré.   -ax² + bx + c    est un trinôme du second degré.

 

Fonctions polynômes et opérations

Propriété

La somme, la différence et le produit de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme.

Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés de ces deux polynômes.

Exemples

Soient f et g les deux fonctions polynômes définies par :

et

 

Égalité de deux polynômes

Propriété

Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si et seulement si elles ont le même degré et les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux.

Démontrons cette propriété dans le cas d’une fonction de degré inférieur ou égal à 2.
Soient f et g deux fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2.

On peut écrire :
   f(x) = ax² + bx + c
et g(x) = a’x2 + b’x + c’-où a, b, c, a’, b’ et c’ sont des nombres réels.

Commençons par vérifier que si les deux fonctions f et g ont le même degré et les mêmes coefficients, alors elles sont égales.
Si a = a’, b = b’, c = c’, alors, pour tout nombre réel x, on a :
f(x) = ax² + bx + c = a’x2 + b’x + c’ = g(x)
donc f = g .

Réciproquement , supposons que f et g sont égales, c’est-à-dire que pour tout nombre réel x on a :    f(x) = g(x).

Alors on a en particulier :
   f(0) = g(0) donc c = c’
   f(1) = g(1) donc a + b + c = a’ + b’ + c’
   f(–1) = g(–1) donc a – b + c = a’ – b’ + c’

Remarques

Cette propriété est importante car elle nous donne un critère pratique pour comparer des fonctions polynômes.
En effet, vérifier si deux fonctions polynômes sont égales sans utiliser ce critère peut être long.

Exemple 1

Soient P et Q les deux fonctions polynômes définies par :

et

Essayons de comparer ces deux fonctions en prenant leurs valeurs en quelques points.
On a :
   P(0) = Q(0)=1      P(– 1) = Q(– 1)=2
   P(1) = Q(1)=2      P(2) = Q(2)=17 .

Exemple 2

Soient R et S les deux fonctions polynômes définies par :

et

Comparons quelques valeurs prises par ces deux fonctions. On a :
   R(0) = S(0) = 0
   R(1) = S(1) = 0
   R(– 1) = S(– 1) = 0
   R(3) = S(3) = 24
Ces deux fonctions semblent égales alors qu’elles ne le sont pas d’après le critère puisqu’elles n’ont pas le même degré.

 

Racines d'un polynôme

Définition

On appelle racine réelle d’une fonction polynôme P tout nombre réel x0 tel que :
P(x0) = 0

Exemple

Reprenons la fonction polynôme R définie par :

Nous avons vu que :
   R(0) = R(1) = R(– 1) = 0
donc 0, 1 et – 1 sont des racines réelles du polynôme R.

Théorème

Si une fonction polynôme P a une racine réelle x0, alors on peut factoriser P(x) par x – x0.
On peut écrire :
   P(x) = (x – x0)Q(x)
où Q est une fonction polynôme de degré n – 1 si n est le degré de P.

Exemple

Reprenons la fonction polynôme R définie par :

Nous avons vu que 0, 1 et – 1 sont des racines réelles de ce polynôme.