Fonctions - limites : Fonctions - limites

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Notre planète terre
 
 
 
 
Les scientifiques ont montré que notre planète se réchauffait.
Ce phénomène est appelé le réchauffement climatique. Afin de connaître les conséquences de ce réchauffement sur notre planète terre, comme par exemple la fonte des glaciers, les mathématiciens construisent des modèles mathématiques qui modélisent l’évolution de la fonte des glaciers.

Ainsi, en étudiant le comportement asymptotique ou les limites de leur modèle mathématique (fonction), ils essaient de prédire ce qu’il va se passer…
 

Notion de limite à l’infini
 
Lorsque l’on étudie une fonction, il peut être intéressant de connaître son comportement pour des grandes valeurs de la variable x.

Par exemple, si cette fonction modélise l’évolution de la fonte des glaciers dans temps (la variable étant alors le temps t), la connaissance du comportement de la fonction lorsque t devient très grand permet aux scientifiques de prédire l’avenir.
 
                                 
 
 

Limite infinie en l’infini


Exemple
 

 


 
 
On constate que les valeurs de f(x) sont de plus en plus grandes, sont aussi grandes que voulu.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment grand.

 
Limite  en 
 

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a, [
où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment grand, les images f(x) sont aussi grandes que l’on veut, on dit que f(x) tend vers quand x tend vers .
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers .

Notation

On note alors :

      


Interprétation graphique

f(x) tend vers lorsque x tend vers si,pour tout nombre réel positif M, il existe un nombre réel A tel que

                                  





Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, la courbe   finit par se situer au dessus de n’importe droite horizontale.

Exemple de limite   en

f(x)= x²

On a  

Pour avoir f(x) >1000 000, il suffit de prendre x >1000.

Plus généralement, si on veut f(x) > M, où M est un nombre réel positif, il suffit de prendre

                                                  

On a 


Limite   en


Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a, [
où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment grand, les images f(x) sont négatives et de valeurs absolues aussi grandes que l’on veut, on dit que f(x) tend vers quand x tend vers .
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers .


Notation

On note alors :

          



Interpretation graphique

f(x) tend vers lorsque x tend vers si,pour tout nombre réel positif M, il existe un nombre réel A tel que


                           





Limite   en

Sur le même principe, on définit les limites infinies  en :


Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ], a[ où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment petit, les images f(x) sont aussi grandes que l’on veut, on dit que f(x) tend vers quand x tend vers .
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers .


Notation

On note alors :

      





Interprétation graphique

f(x) tend vers  lorsque x tend vers   si,pour tout nombre réel positif M, il existe un nombre réel A tel que

                                  





Limite  en


Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ], a[
où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment petit, les images f(x) sont négatives
et de valeurs absolues aussi grandes que l’on veut, on dit que
f(x) tend vers quand x tend vers .
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers .

Notation

On a alors :

              


Interprétation graphique

f(x) tend vers lorsque x tend vers si, pour tout nombre réel négatif M, il existe un nombre réel A tel que

                            





Limite finie en


Exemple






On constate que les valeurs de f(x) sont de plus en plus proches de zéro.
En fait, elles sont aussi proches de zéro que l’on veut.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment grand.

Limite finie en


Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a, [ où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment grand, les images f(x) sont aussi proches d’un réel que l’on veut, on dit que f(x) tend vers  quand x tend vers .
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers .
La  droite D d’équation  y = est alors appelée asymptote (horizontale) à la courbe représentative de f en .


Notation

On a alors : 

                 

Dire que « f(x) est aussi proche de que l’on veut » signifie que la différence entre f(x) et est aussi proche que l’on veut de zéro.

f(x) tend vers lorsque x tend vers si, pour tout nombre réel >0, il existe un nombre réel A tel que

                                       





Limite finie en


Illustrations

On définit de la même façon une limite finie  en :

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ], a[ où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment petit (c’est-à-dire – x suffisamment grand), les images f(x) sont aussi proches d’un réel que l’on veut, on dit que f(x) tend vers quand x tend vers .
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers .
La  droite D d’équation  y = est alors appelée asymptote (horizontale) à la courbe représentative de f en .

Notation

On a alors :

                   


Limite infinie en un réel a : exemple


Exemple






On constate que plus on se rapproche de zéro, par  valeurs positives ou négatives, plus les valeurs de f(x) sont grandes.

Les valeurs de f(x) peuvent être aussi grandes que l’on veut.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment proche de zéro ().

Limite en un réel a


Définition

Soit a un nombre réel et soit f une fonction définie sur   ou sur   (ou sur la réunion des deux) où  est un nombre réel strictement positif.
On dit que f(x) tend vers quand x tend vers a si f(x) peut être rendu aussi grand que l’on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers a.

Notation

    On a alors :

                      


Interprétation graphique

f(x) tend vers lorsque x tend vers a si,
pour tout nombre réel positif M, il existe un nombre réel strictement
positif tel que

                      






Limite  en un réel a

On définit de la même façon une limite en un nombre réel a :

Définition

Soit a un nombre réel et soit f une fonction définie sur
ou sur (ou sur la réunion des deux) où  est un  nombre réel strictement positif.
On dit que f(x) tend vers quand x tend vers a si f(x) peut être rendu aussi grand que l’on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers a.

Notation

  On note alors :
                            


Limite à droite et limite à gauche

Il peut arriver que le comportement de f(x) ne soit pas le même à droite et à gauche de a.
Dans ce cas on regarde séparément ce qui se passe à droite et à gauche de a.

Exemple










Limites des fonctions de référence









Opérations sur les limites





Limite d’une somme










Limite d’un produit




Exemple





Limite de l’inverse




Limite d’un quotient




Dans le cas où la limite de g vaut 0, il faut regarder le signe de f(x) et celui de g(x).










 
 
 

Cours complémentaires : ► Fonctions - Calculs de limites ► Fonctions - Comportement ► asymptotique

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