Fonctions - Limites
Cours maths 1ère S
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Notre planète terre

Les scientifiques ont montré que notre planète se réchauffait.
Ce phénomène est appelé le réchauffement climatique. Afin de connaître les conséquences de ce réchauffement sur notre planète terre, comme par exemple la fonte des glaciers, les mathématiciens construisent des modèles mathématiques qui modélisent l’évolution de la fonte des glaciers.
Ainsi, en étudiant le comportement asymptotique ou les limites de leur modèle mathématique (fonction), ils essaient de prédire ce qu’il va se passer…
Notion de limite à l’infini
Lorsque l’on étudie une fonction, il peut être intéressant de connaître son comportement pour des grandes valeurs de la variable x.
Par exemple, si cette fonction modélise l’évolution de la fonte des glaciers dans temps (la variable étant alors le temps t), la connaissance du comportement de la fonction lorsque t devient très grand permet aux scientifiques de prédire l’avenir.

Limite infinie en l’infini
Exemple


On constate que les valeurs de f(x) sont de plus en plus grandes, sont aussi grandes que voulu.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment grand.
Limite


Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a,

où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment grand, les images f(x) sont aussi grandes que l’on veut, on dit que f(x) tend vers


On dit aussi que f admet pour limite


Notation
On note alors :

Interprétation graphique
f(x) tend vers




Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, la courbe

Exemple de limite


f(x)= x²
On a

Pour avoir f(x) >1000 000, il suffit de prendre x >1000.
Plus généralement, si on veut f(x) > M, où M est un nombre réel positif, il suffit de prendre

On a

Limite


Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a,

où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment grand, les images f(x) sont négatives et de valeurs absolues aussi grandes que l’on veut, on dit que f(x) tend vers


On dit aussi que f admet pour limite


Notation
On note alors :

Interpretation graphique
f(x) tend vers




Limite


Sur le même principe, on définit les limites infinies en

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]

Si, pour x suffisamment petit, les images f(x) sont aussi grandes que l’on veut, on dit que f(x) tend vers


On dit aussi que f admet pour limite


Notation
On note alors :


Interprétation graphique
f(x) tend vers




Limite


Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]

où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment petit, les images f(x) sont négatives
et de valeurs absolues aussi grandes que l’on veut, on dit que
f(x) tend vers


On dit aussi que f admet pour limite


Notation
On a alors :

Interprétation graphique
f(x) tend vers




Limite finie en

Exemple


On constate que les valeurs de f(x) sont de plus en plus proches de zéro.
En fait, elles sont aussi proches de zéro que l’on veut.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment grand.
Limite finie en

Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a,

Si, pour x suffisamment grand, les images f(x) sont aussi proches d’un réel



On dit aussi que f admet pour limite


La droite D d’équation y =


Notation
On a alors :

Dire que « f(x) est aussi proche de


f(x) tend vers



.jpg)

Limite finie en

Illustrations
On définit de la même façon une limite finie en

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]

Si, pour x suffisamment petit (c’est-à-dire – x suffisamment grand), les images f(x) sont aussi proches d’un réel



On dit aussi que f admet pour limite


La droite D d’équation y =


Notation
On a alors :

Limite infinie en un réel a : exemple
Exemple


On constate que plus on se rapproche de zéro, par valeurs positives ou négatives, plus les valeurs de f(x) sont grandes.
Les valeurs de f(x) peuvent être aussi grandes que l’on veut.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment proche de zéro (

Limite

Définition
Soit a un nombre réel et soit f une fonction définie sur



On dit que f(x) tend vers

On dit aussi que f admet pour limite

Notation
On a alors :

Interprétation graphique
f(x) tend vers

pour tout nombre réel positif M, il existe un nombre réel strictement
positif



Limite

On définit de la même façon une limite

Définition
Soit a un nombre réel et soit f une fonction définie sur

ou sur


On dit que f(x) tend vers

On dit aussi que f admet pour limite

Notation
On note alors :

Limite à droite et limite à gauche
Il peut arriver que le comportement de f(x) ne soit pas le même à droite et à gauche de a.
Dans ce cas on regarde séparément ce qui se passe à droite et à gauche de a.
Exemple


.jpg)
Limites des fonctions de référence



Opérations sur les limites

Limite d’une somme



Limite d’un produit

Exemple

Limite de l’inverse

Limite d’un quotient

Dans le cas où la limite de g vaut 0, il faut regarder le signe de f(x) et celui de g(x).

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