Fonctions - Continuité
Cours maths Terminale S
Fonctions - Continuité : Dans ce module, introduction d’une nouvelle notion qu’est la continuité d’une fonction en un point. |
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Soit x0 et
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deux nombres réels (finis) et f fonction réelle définie au voisinage de x0Définition
On dit que f admet
pour tout intervalle du type ] A ; B [ contenant] a ; b [ alors : f (x)
Autrement dit :
« Aussi étroit que l’on choisisse l’intervalle autour de
, si les x sont assez proches de x0 alors leurs images sont dans cet intervalle. »Notation
Propriété
Si f admet une limite finie en x0 alors cette limite est unique.
Concernant la limite d’une fonction en un nombre fini, on parle également de limite à gauche et de limite à droite en ce nombre.
Limites également appelées, respectivement, limite par valeurs inférieures et limite par valeurs supérieures.
Auquel cas :
f admet une limite finie en x0
si et seulement si
les limites à droite et à gauche sont égales à un même nombre fini
On a alors :si et seulement si
les limites à droite et à gauche sont égales à un même nombre fini
* Dans la pratique :
on calcule les limites de chaque côté en utilisant les définitions de f(x) qui y correspondent ; si ces deux limites sont un même nombre fini alors la limite existe et vaut ce nombre.
illustration graphique
D ’après la définition :
« Aussi étroit que l’on choisisse l’intervalle autour de
, si les x sont assez proches de x0 alors leurs images sont dans cet intervalle. »
Pour une abscisse assez proche de x0,
toute la courbe se retrouve donc dans la partie violette.
Or comme l’on peut rendre ces deux
bandes aussi étroites que l’on veut …
bandes aussi étroites que l’on veut …
La courbe tend donc à passer par le point M0 de coordonnées : (x0 ;
)Si de plus, f est définie en x0 alors deux cas de figure peuvent se présenter :
2/ Cas n° 1 : continuité en un point
Si M0 est un point de la courbe de f alors :
f (x) =La courbe peut alors être tracée « sans lever le crayon » sur un intervalle comprenant x0 . On dit dans ce cas que la fonction f est continue en
ou encore qu’elle est continue au point x0
« Point » est à prendre ici au sens d’un résultat valable ponctuellement
par opposition à un résultat valable sur tout un intervalle.
( cas que nous allons voir dans la suite )
la fonction f est donc continue en x0
si et seulement si :
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3/ Cas n°2 : discontinuité en un pointOu encore, si et seulement si :
Autrement dit : si la limite existe et vaut f (x)
Si M0 n’est pas un point de la courbe de f alors : f (x0)
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f étant une fonction, sa courbe ne peut passer par deux points qui ont même abscisse mais une ordonnée différente, il y a alors un « saut » dans le tracé.
La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle comprenant x0 « sans lever le crayon ».
On dit que la fonction f n’est pas continue en x0 ou encore qu’elle est discontinue en x0
Dans le cas de discontinuité illustré,
et f (x0) , mais le cas de discontinuité la plus fréquemment rencontrée est le cas d’une fonction définie de façon différente à gauche et à droite de x0Exemple :
Soit f définie sur R par :
Donc, la limite en 0 n’existe pas.Conséquence : f ne peut être continue en 2.
Graphiquement : La courbe de f ne peut être tracée sur un intervalle
comprenant 0, « sans lever le crayon ».
comprenant 0, « sans lever le crayon ».
4/ Prolongement par continuité
Si
mais que f n’est pas définie en x0
, f ne peut être continue en x0Cependant, si on « bouche le trou » se trouvant sur la courbe, on peut alors la tracer sans lever le crayon.
Auquel cas, il faut donc rajouter dans la définition de la fonction : f (x0)
On dit alors que l’on fait un prolongement par continuité de f en x0
5/ Continuité sur un intervalle : définition
Continuité sur un intervalle : ( a et b pouvant être des bornes infinies )
f est continue sur l’intervalle ouvert ] a ; b [
si f est continue en x0 , quel que soit x0 élément de ] a ; b [
* Si de plus : a est un nombre fini et
alors f est continue sur [ a ; b [ * Et si de plus : b est un nombre fini et
alors f est continue sur [ a ; b ] Du point de vue graphique .png)
Si f est continue sur ] a ; b [ alors la courbe de f peut être tracée sur cet intervalle « sans lever le crayon ».
Dans l’exemple déjà vu
f est continue sur : ].png)
; 0 [ et sur : ] 0 ; .png)
[
Mais f n’est pas continue en 0, elle n’est donc pas continue pour tout réel.
Par conséquent : f n’est pas continue sur R.
Si f est continue sur ] a ; b [ alors la courbe de f peut être tracée sur cet intervalle « sans lever le crayon ».
Dans l’exemple déjà vu
f est continue sur : ]
; 0 [ et sur : ] 0 ; [Mais f n’est pas continue en 0, elle n’est donc pas continue pour tout réel.
Par conséquent : f n’est pas continue sur R.
5/ Continuité sur un intervalle : fonctions de référence
Fonctions de référence :
* Les fonctions affines, polynômes, trigonométriques et valeur absolue sont continues sur R.Et grâce aux propriétés qui suivent on peut s’appuyer sur la continuité de ces fonctions pour en déduire la continuité d’autres, en effet :
* Les fonctions rationnelles ( quotient de deux polynômes ) sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
* La fonction racine est continue sur ] 0 ;
Toute somme, différence ou produit de fonctions continues sur I est continue sur I.De plus, si besoin est, on peut ramener ces résultats à quelque chose de plus local, car :est continue sur I, si u et v sont continues sur I et si v ne s’annule pas sur I.
Si f est continue sur un intervalle Ialors f est continue sur tout intervalle inclus dans I.
Remarques importantes :
On ne parlera de continuité sur un ensemble que si cet ensemble est un intervalle.
La continuité est une notion très importante en mathématiques : elle va nous être utile à plusieurs reprises dès cette année de terminale, où nous la croiserons dans des problèmes de recherche de limites de suites, des problèmes d’existence de solutions d’équations, d’existence de fonction réciproque ou encore d’existence de primitive d’une fonction.
Les propriétés liées à la continuité d’une fonction sur un intervalle seront étudiées dans le module traitant du théorème des valeurs intermédiaires.
Module où la notion d’intervalle sera revue avec précision et où l’on démontrera un résultat dont nous allons avoir besoin dès ce module-ci, à savoir :
Si f est continue sur l’intervalle I, alors l’image de I par f est un intervalle.Ce résultat est en particulier indispensable pour parler de continuité d’une fonction composée.
6/ Continuité d’une fonction composée
Continuité en un point
Si g est continue en x0 et si f est continue en g (x0) alorsContinuité sur un intervalleest continue en x0
Si g est continue sur l et si f est continue sur g (l) alors
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