Fonctions - Comportement asymptotique

Cours maths 1ère S

Fonctions - Comportement asymptotique :
Fonctions - Comportement asymptotique
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Introduction


 
Le terme d’asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d’une branche infinie de courbe. 

 
 C’est d’abord un adjectif d’étymologie grecque qui peut qualifier une droite, un cercle, une courbe dont une autre courbe plus

complexe peut se rapprocher.

C’est aussi devenu un nom féminin synonyme de « droite asymptote ».

Asymptote horizontale

 
 Définition
 
 La droite d’équation y=k où k est un nombre réel est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f en  (respectivement en  ) si et seulement si :
(respectivement  )
  



 
 Remarque
 
est équivalent à ou encore      avec  
 

Exemple
 
Soit f la fonction définie par

                                       

Lorsque x tend vers
, tend 0 donc   .

La droite d’équation y=3 est donc une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en 
.

Lorsque x tend vers
, tend vers 0  donc .

La droite d’équation y=3 est donc aussi une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en
.





Asymptote verticale



Définition

La droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbereprésentative de la fonction f en a si et seulement si f(x) a pour limite
ou lorsque x tend vers a, éventuellement seulement à droite ou à gauche de a.






Exemple

Soit f la fonction définie par

la fonction f est définie sur   et on a

et   






Asymptote oblique


Définition
 
La droite d’équation  est asymptote (oblique) à la courbe
représentative en
  (respectivement en ) si et seulement si

                      

avec    (respectivement   )
           
             
Asymptote oblique

Soit  la courbe représentative de f.

Soit (D) la droite d’équation

               .
Soit M le point de coordonnées ( 
).

Soit P le point de coordonnées(
,  ).





représente la distance PM. 

La droite (D) est asymptote à la courbe  en si et seulement si la distance PM tend vers 0 lorsque x tend vers

Exemple


Soit f la fonction définie par :

 


La fonction f est définie sur .
On a, pour tout nombre réel

En effet

 



On a donc                                     
 
avec                       

Or 

On en déduit que la droite d’équation   est asymptote oblique à la courbe représentative de f en.

De même on a :

                               

donc la droite d’équation est aussi asymptote oblique à la courbe représentative de f en        






Remarque


   avec 

Pour a=0, on retrouve le cas d’une asymptote horizontale.    

Propriété

La droite (D) d’équation  est asymptote à la courbe représentative de f en si et seulement si 


Démonstration

► Supposons que la droite (D) est asymptote à la
 courbe représentative de f en .

 

Alors   avec

d’où   et 

► Réciproquement, supposons que 


Alors, posons 

On a   avec

donc la droite (D) est asymptote à la courbe représentative de f en .

Remarque

Pour démontrer une équivalence
 « (A) si et seulement (B) »
on peut démontrer les deux implications
• Si (A) est vrai alors (B) est vrai
• Si (B) est vrai alors (A) est vrai

Comment déterminer une asymptote ?


• Asymptote horizontale

Pour montrer que la droite d’équation y=k est une asymptote horizontale en  à la courbe représentative de f, il suffit de démontrer que 


On peut le faire
- soit en calculant directement  
 
- soit en démontrant que 

- soit en exprimant f(x) sous la forme
 
   avec 

On procède de la même manière en      


• Asymptote verticale

Pour démontrer que la droite d’équation x = a
est une asymptote verticale à la courbe représentative de f, il suffit de montrer que

              ou            


ou                             ou                       


ou                               ou                

Nous avons vu que 

                        et                 
 


• Asymptote oblique

Pour démontrer que la droite d’équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en

- on calcule 
 
puis il suffit de démontrer que 

- on exprime f(x) sous la forme
 
       avec 

On procède de la même manière en .
 

Position de la courbe par rapport aux asymptotes


Soit (D) la droite d’équation y=k.
Si la droite (D) est une asymptote horizontale à la courbe représentative  de f en  ou en , pour étudier la position relative de   par rapport à la droite (D), il suffit d’étudier le signe de 
- Si pour tout x d’un intervalle I, alors la courbe   est au dessus de l’asymptote (D) sur I.
- Si pour tout x d’un intervalle I,  alors la courbe est au dessous de l’asymptote (D) sur I.


Exemple


Soit f la fonction définie par   


Nous avons vu que


      et        


La droite (D) d’équation y=3 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative   de f en  et .

Etudions le signe de  




Si x > 0,   , donc 

Cela signifie que pour tout x > 0 la courbe est en dessous de l’asymptote   (D)

En revanche
si x < 0,   ,  donc  

pour tout  x < 0  , la courbe est donc au dessus de l’asymptote (D).  






 

• Cas d’une asymptote oblique 


Soit (D) la droite d’équation y = ax + b.
Si la droite (D) est une asymptote oblique à la courbe représentative
de f en   ou en   , pour étudier la position relative de    par rapport à la droite (D), il suffit d’étudier le signe de  .

►Si pour tout x d’un intervalle  , alors la courbe est au dessus de l’asymptote (D). 

► Si pour tout x d’un intervalle  ,  alors la courbe   est au dessous de l’asymptote (D).

         Cours complémentaires :

► Généralités sur les fonctions
► Fonctions - Comportement

► Etude de fonctions
asymptotique
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