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Cours maths 1ère S

Fonctions - Comportement asymptotique

Fonctions - Comportement asymptotique

 

Introduction

Le terme d’asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d’une branche infinie de courbe.

C’est d’abord un adjectif d’étymologie grecque qui peut qualifier une droite, un cercle, une courbe dont une autre courbe plus complexe peut se rapprocher.

C’est aussi devenu un nom féminin synonyme de « droite asymptote ».

 

Asymptote horizontale

Définition

La droite d’équation y=k où k est un nombre réel est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f en (respectivement en ) si et seulement si :
(respectivement )

Remarque

est équivalent à ou encore avec

Exemple

Soit f la fonction définie par

Lorsque x tend vers , tend 0 donc .

La droite d’équation y=3 est donc une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en .

Lorsque x tend vers , tend vers 0 donc .

La droite d’équation y=3 est donc aussi une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en .

 

Asymptote verticale

Définition

La droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbereprésentative de la fonction f en a si et seulement si f(x) a pour limite ou lorsque x tend vers a, éventuellement seulement à droite ou à gauche de a.

Exemple

Soit f la fonction définie par

la fonction f est définie sur et on a

et

 

Asymptote oblique

Définition

La droite d’équation est asymptote (oblique) à la courbe représentative en (respectivement en ) si et seulement si


avec (respectivement )

Asymptote oblique

Soit la courbe représentative de f.

Soit (D) la droite d’équation .

Soit M le point de coordonnées ( , ).

Soit P le point de coordonnées( , ).

représente la distance PM.

La droite (D) est asymptote à la courbe en si et seulement si la distance PM tend vers 0 lorsque x tend vers .

Exemple

Soit f la fonction définie par :

La fonction f est définie sur .
On a, pour tout nombre réel

En effet

On a donc

avec

Or

On en déduit que la droite d’équation est asymptote oblique à la courbe représentative de f en .

De même on a :

donc la droite d’équation est aussi asymptote oblique à la courbe représentative de f en

Remarque

avec

Pour a=0, on retrouve le cas d’une asymptote horizontale.

Propriété

La droite (D) d’équation est asymptote à la courbe représentative de f en si et seulement si

Démonstration

► Supposons que la droite (D) est asymptote à la courbe représentative de f en .

Alors avec

d’où et

► Réciproquement, supposons que

Alors, posons

On a avec

donc la droite (D) est asymptote à la courbe représentative de f en .

Remarque

Pour démontrer une équivalence
« (A) si et seulement (B) »
on peut démontrer les deux implications
• Si (A) est vrai alors (B) est vrai
• Si (B) est vrai alors (A) est vrai

 

Comment déterminer une asymptote ?

• Asymptote horizontale

Pour montrer que la droite d’équation y=k est une asymptote horizontale en à la courbe représentative de f, il suffit de démontrer que

On peut le faire

- soit en calculant directement

- soit en démontrant que

- soit en exprimant f(x) sous la forme

avec

On procède de la même manière en

• Asymptote verticale

Pour démontrer que la droite d’équation x = a
est une asymptote verticale à la courbe représentative de f, il suffit de montrer que

ou

ou ou

ou

Nous avons vu que

et

• Asymptote oblique

Pour démontrer que la droite d’équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en

- on calcule

puis il suffit de démontrer que

- on exprime f(x) sous la forme

avec

On procède de la même manière en .

 

Position de la courbe par rapport aux asymptotes

Soit (D) la droite d’équation y=k.

Si la droite (D) est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en ou en , pour étudier la position relative de par rapport à la droite (D), il suffit d’étudier le signe de

- Si pour tout x d’un intervalle I, alors la courbe est au dessus de l’asymptote (D) sur I.

- Si pour tout x d’un intervalle I, alors la courbe est au dessous de l’asymptote (D) sur I.

Exemple

Soit f la fonction définie par

Nous avons vu que

et

La droite (D) d’équation y=3 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative de f en et .

Etudions le signe de

Si x > 0, , donc

Cela signifie que pour tout x > 0 la courbe est en dessous de l’asymptote (D)

En revanche

Si x , donc

Pour tout x est donc au dessus de l’asymptote (D).

• Cas d’une asymptote oblique

Soit (D) la droite d’équation y = ax + b.

Si la droite (D) est une asymptote oblique à la courbe représentative
de f en ou en , pour étudier la position relative de par rapport à la droite (D), il suffit d’étudier le signe de .

►Si pour tout x d’un intervalle , alors la courbe est au dessus de l’asymptote (D).

► Si pour tout x d’un intervalle , alors la courbe est au dessous de l’asymptote (D).