Evènements
Cours maths Terminale S
Evénements : A partir d’un exemple concret d’expérience aléatoire, les notions d’issue, d’univers et d’évènement sont tout d’abord définies. |
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1/ Univers, évènements
Considérons une expérience aléatoire (lancer de dés, tirage de boules d’une urne etc…)
Les résultats possibles de cette expérience sont appelés des issues.
Les issues de l’expérience sont notées : e1 ; e2 ; ... ; ou
Nous verrons plus loin les raisons de ces deux notations.
L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers et noté(Se lit « oméga ». C’est un oméga, majuscule.
Cet oméga majuscule, étant l’ensemble des issues, il est cohérent que l’on note celles-ci à l’aide d’un oméga, minuscule :)
Exemple :
Soient un jeton à deux faces numérotées 1 et 2 et un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
Et soit l’expérience aléatoire qui consiste à jeter simultanément le jeton et le dé puis à noter le résultat sous la forme d’un couple.
Alors := { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6 );( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 )}
Rappel :
le nombre d’éléments d’un ensemble E est appelé cardinal de E et noté : card E
Ici : card= 12
On appelle événement, toute partie ou sous-ensemble de l’univers 

Exemples :
Évènement A : « le chiffre sur le jeton est 1 ».
A = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6) }
Et card A = 16
Évènement B : « au moins un des chiffres obtenus est pair ».
B = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ); ( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 ) }
et card B = 6
Événement C : « les 2 chiffres obtenus sont pairs »
C = { ( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }
et card C = 3
Parmi ces événements ou sous-ensembles, il existe des cas particuliers :
* L’ensemble vide, Ø, représente un événement impossible.
Et card Ø = 0.
Exemple d’événement impossible :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est strictement supérieur à 2 ».
* L’univers,, représente un événement certain.
Exemple d’événement certain :
Événement B : « le chiffre sur le dé n’est pas nul ».
* Tout événement réduit à un seul élément est appelé événement élémentaire.
D = { ( 1 ; 3 ) } est par exemple un événement élémentaire.
* Tout événement, non impossible, est la réunion d’événements élémentaires, qui sont les singletons formés avec les éléments qui constituent cet événement.
C = { ( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) } ={ ( 2 ; 2 ) } U { ( 2 ; 4 ) } U { ( 2 ; 6 ) }
2/ Intersections, réunions, événements incompatiblesEn particulier,, est la réunion de tous les événements élémentaires.
D’où la notation ei, adoptée pour les issues.
Attention à ne pas confondre, l’issue ei qui est un élément deet l’événement élémentaire {ei} qui est un sous-ensemble de
, formé avec ei
* Soient A et B deux événements de l’univers
L’événementest l’événement « A et B ».
Autrement dit :
Exemple :Événement A : « le chiffre sur le jeton est 1 ».
Événement B : « au moins un des chiffres obtenus est pair ».
Événement A et B : «le chiffre sur le jeton est 1 et au moins un des chiffres obtenus est pair ».
Événement égal à l’événement : « le chiffre sur le jeton est 1 et le chiffre sur le dé est pair ».
Soit := { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ) }
Résultat que l’on peut retrouver d’un point de vue purement ensembliste, en effet :
A = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6) }
B = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ); ( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 ) }
D'où= { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ) }
* Soient A et B deux événements de l’univers
Les événement A et B sont dits incompatibles si= Ø.
Autrement dit, si l’événement « A et B » est impossible.
Exemple :Événement A : « le chiffre sur le jeton est 1 ».
Événement C : « les 2 chiffres obtenus sont pairs ».
A et C sont incompatibles.
Du point de vue ensembliste :
A = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );( 1 ; 3 );( 1 ; 4 );( 1 ; 5 );( 1 ; 6) }
C = { ( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }
On a bien :Ø.
* Soient A et B deux événements de l’univers
L’événementest l’événement « A ou B ».
Autrement dit :
Exemple :Événement A : «le chiffre sur le jeton est 2 ».
Événement B : « le chiffre sur le dé est pair ».
Événement A ou B : «le chiffre sur le jeton est 2 ou le chiffre sur le dé est pair ».
Événement égal à l’événement : « au moins l’un des deux chiffres est pair ».
Soit{ ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 );(2 ; 1);( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );(2 ; 6 ) }
Résultat que l’on peut retrouver d’un point de vue purement ensembliste, en effet :
A = { ( 2 ; 1 );( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );( 2 ; 6 ) }
B = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 ) ;( 2 ; 2 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }
D'où= { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 );(2 ; 1);( 2 ; 2 );( 2 ; 3 );( 2 ; 4 );( 2 ; 5 );(2 ; 6 ) }
Soient A et B deux événements de l’univers



Cas particulier n° 1 : A et B incompatibles
Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le dé est plus grand que 3 »
Événement B : « le chiffre sur le dé est plus petit que 2 »
Cas particulier n° 2 : A et B incompatibles et=
On dit alors que A et B réalisent une partition de l’univers 



Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est 2 »
Événement B : « le chiffre sur le jeton est 1 »

Comme vu dans le module sur le dénombrement,
réaliser une partition d’un ensemble E
est une bonne technique pour compter tous les éléments de E
et surtout, ne pas compter deux fois un même élément.
réaliser une partition d’un ensemble E
est une bonne technique pour compter tous les éléments de E
et surtout, ne pas compter deux fois un même élément.
2/ Événement contraire

3/ Probabilités : cas d’équiprobabilité

Soit A un événement de l’univers 
.png)

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L’événementest l’événement contraire de A et se lit « A barre » .
Il peut également être lu comme étant l’événement « non A », en raison de la définition de l’appartenance d’un élément àqui est la suivante :
Soit ei élément de:

Exemple n° 1:Événement A : « le chiffre sur le jeton est un »
Événement: « le chiffre sur le jeton n’est pas un »
Et comme A etfont partie d’un univers où si le chiffre sur le jeton n’est pas un, il vaut 2 :
l’événementest donc égal à : « le chiffre sur le jeton est 2 »
Mais attention,dépend de l’univers
dont A est une partie, car
est l’ensemble complémentaire de A dans
![]()
* Si nous sommes dans un nouvel univers où le jeton peut tomber sur la tranche qui vaut 3 alors :
l’événementdevient : « le chiffre sur le jeton est égal à 2 ou 3 ».
Ce qui comme nous allons le voir dans l’exemple suivant va être fort utile pour dénombrer A :Soit A un événement de l’univers![]()
Par définition de l’événement contraire : A etsont incompatibles et
Donc A etréalisent une partition de
![]()
Par conséquent :
Exemple n° 2:3/ Probabilités : cas généralÉvénement A : « au moins un des deux chiffres est pair ».Dénombrer ce type de cas, oblige à réaliser une partition de l’événement.
Cet événement est long à dénombrer car il recouvre le cas où un seul chiffre sur les deux est pair et le cas où les deux chiffres sont pairs.
Conseil : Il faut acquérir le réflexe d’utiliser l’événement contraire chaque fois que la formulation d’un événement utilise la formule « au moins un »Ici la partition de A serait :
Événement A1 : « un chiffre exactement est pair ».
Événement A2 : « deux chiffres exactement sont pairs ».
Il est donc plus rapide d’utiliser l’événement contraire qui est :
Événement: « il y a moins d’un chiffre pair sur les deux chiffres ».
Égal à : « aucun chiffre n’est pair » ou encore : « les deux chiffres sont impairs ».
D’où= { ( 1 ; 1 );( 1 ; 3 );( 1 ; 5 ) }
card= 3 donc card A = card
- card
= 12 - 3 = 9
Lors d’une expérience aléatoire,
la probabilité pour qu’un événement élémentaire {ei} se produise est notée p(ei)
Cette probabilité est un nombre qui ramené à un rapport sur 100,
représente le pourcentage de chance pour que l’issue ei se produise
lors d’une réalisation de l’expérience aléatoire.
On a donc l’encadrement suivant :
.png)
Si A est un événement non élémentaire, par exemple si A = {e1 ; e3 ; e5}
alors :
La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités
des événements élémentaires qui le composent.
la probabilité pour qu’un événement élémentaire {ei} se produise est notée p(ei)
Cette probabilité est un nombre qui ramené à un rapport sur 100,
représente le pourcentage de chance pour que l’issue ei se produise
lors d’une réalisation de l’expérience aléatoire.
On a donc l’encadrement suivant :

.png)
Si A est un événement non élémentaire, par exemple si A = {e1 ; e3 ; e5}
alors :

La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités
des événements élémentaires qui le composent.
En particulier := { e1 ; e2 ; ... en}
Donc : p(Or,) = p(e1) + p(e2) + ... p(en)
est un événement certain donc le pourcentage de chances pour qu’il se produise lors de la réalisation d’une expérience aléatoire est de 100.
D’où :![]()
Soit :
Par conséquent :![]()
La somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1.
A l’opposé de l’univers tout entier, il y a le vide.
Or, Ø est un événement impossible donc le pourcentage de chances pour qu’il se produise
lors de la réalisation d’une expérience aléatoire est nul.
3/ Probabilités : cas d’équiprobabilité
Si quels que soient i et j : p(ei) = p(ej)Autrement dit, si les événements élémentaires ont tous la même probabilité de se produire,on dit que les issues sont équiprobables, ou encore, que l’univers est équiprobable.Or, si card= n, il y a n issues possibles et p(e1) + p(e2) + ... p(en) = 1
Soit dans le cas de l’équiprobabilité : n x p(ei) = 1D’où, quel que soit i, compris entre 1 et n :Dans notre exemple, l’univers est équiprobable si la pièce et le dé sont équilibrés.autrement dit, s’ils sont non truqués ou non pipés.Dans le cas d’un tirage de cartes ou de boules, l’univers est équiprobable si les boules sont indiscernables au toucher et les cartes indiscernables à la vue.
On a alors :
Tout événement A a pour probabilité la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent, donc :

Dans le cas d’un univers équiprobable, le calcul d’une probabilité se ramènera donc à savoir dénombrer l’univers et ses sous ensembles.
Exemple :
Événement A : « un seul des deux chiffres est pair ».Alors : A = { ( 1 ; 2 );( 1 ; 4 );( 1 ; 6 );( 2 ; 4 );( 2 ; 6 ) }
card A = 5 card= 12
donc :
3/ Probabilités : propriétés
Les propriétés suivantes sont valables dans tous types d’univers.
Leurs démonstrations seront, elles, seulement données dans le cas d’équiprobabilité.
Soient A et B deux événements d’un univers




Conséquence n°1 : si A et B sont incompatibles :



Conséquence n°2 :
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Qui sera le plus souvent utilisée sous la forme : p (A) = 1 - p (

Conséquence n°3 : si A1 ; A2 ; ... ; An réalisent une partition de A alors :

Exemples :
Continuons avec notre expérience consistant à lancer un jeton et un dé.

A partir de l’universque cette expérience engendre, il est possible de définir une infinité de variables aléatoires.
Exemple n° 1 :Plus généralement :
La variable aléatoire attachée à chaque issue est égale à la somme des chiffres de l’issue.
Les valeurs possibles de la variable sont alors : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Exemple n° 2 :
La variable aléatoire attachée à chaque issue est égale au nombre de chiffres pairs de l’issue.
Les valeurs possibles de la variable sont alors : 0, 1, 2.
Attention : il n’est pas rare d’oublier le cas 0,quand on liste les valeurs possibles d’une variable aléatoire.
Une variable aléatoire est une fonction, notée X, définie sur
et à valeurs dans R.

Exemple n° 1 : (a ; b) 


4/ Variable aléatoire : ensembles définis à l’aide de X
Soit X variable aléatoire définie sur


les valeurs possibles de la variable sont notées xi


L’ensemble des antécédents de xi par X est un sous-ensemble de 
il s’agit donc d’un événement, qui peut être noté : [ X = xi ] ou ( X = xi )

il s’agit donc d’un événement, qui peut être noté : [ X = xi ] ou ( X = xi )
Avec l’exemple n° 1 :
[ X = 4 ] : « la somme des chiffres vaut 4 »
[ X = 4 ] = { ( 1 ; 3 );( 2 ; 2 ) }
On peut également définir des événements à l’aide d’inégalités sur X :
[ X < 4 ] : « la somme des chiffres est strictement inférieure à 4 »
Il est alors pratique de réaliser une partition d’un tel ensemble, pour le définir et le dénombrer.
Ici : [ X < 4 ] = [ X = 2 ][ X = 3] = { ( 1 ; 1 ) } U { ( 1 ; 2 );(2 ; 1) } = { ( 1 ; 1 );( 1 ; 2 );(2 ; 1) }
4/ Variable aléatoire : loi de probabilités
A chaque événement [ X = xi ] est associée une probabilité.
Avec l’exemple n° 1 :En affectant, à chaque événement [ X = xi ] sa probabilité, on dit que l’on définit la loi de probabilité de X.
[ X = 4] = { ( 1 ; 3 );( 2 ; 2 ) }Donc, si l’univers est équiprobable :
Concrètement, définir la loi de probabilité d’une variable X, c’est :
1° lister les valeurs possibles de la variable.
2° remplir le tableau suivant.
Loi de probabilité de X :
Par souci de simplification d’écriture, les p [ X = xi ] sont notées piRemarque :
De plus, comme les événements [ X = xi ] forment une partition de l’univers :
Il faut donc toujours vérifier si une fois le tableau de la loi de probabilité rempli, la somme de tous les pi vaut bien 1.
Cette propriété est également bien utile quand un des pi est long ou compliqué à calculer.
En effet, si l’on a été capable de calculer tous les autres, le dernier pi peut en être déduit.
Loi de probabilité de X pour l’exemple n° 1 :

[ X = 2 ] = {(1 ; 1 )}donc :[
X = 3 ] = {(1 ; 2) ; (2 ; 1)}donc:Ainsi de suite … jusqu’à :
[ X = 8] = {(2 ; 6 )}donc :
Et l’on vérifie que la somme des probabilités vaut bien 1 :
Loi de probabilité de X pour l’exemple n° 2 :
En supposant bien entendu que l’on ne se soit pas trompé dans le calcul des autres probabilités.
Rappel : dans l’exemple n° 2, X est le nombre de chiffres pairs.
Ici, les cas extrêmes sont très faciles à expliciter et à dénombrer :Par contre, le cas du milieu est un peu long à dénombrer, donc on va utiliser le résultat sur la somme :Par conséquent :
4/ Variable aléatoire : espérance
Loi de probabilité de X :

La moyenne des valeurs prises par X affectées de leurs probabilités :

est la valeur moyenne que l’on peut espérer pour X lors de la réalisation d’une expérience.
Cette moyenne est donc aussi appelée, espérance de X et notée E(X).

Cette moyenne est donc aussi appelée, espérance de X et notée E(X).

4/ Variable aléatoire : gain algébrique, jeu équitable
Reprenons l’exemple n° 2 et créons un jeu d’argent à partir de cette expérience :- la mise est de 10 €.Soit G la variable aléatoire qui représente le gain algébrique, c’est à dire le gain, moins la mise de départ.
- si le joueur n’obtient aucun nombre pair, il gagne 15 €
- si le joueur obtient un unique nombre pair, il perd sa mise.
- si le joueur obtient deux nombres pairs, il gagne 20 €.
Les valeurs possibles de la variable G sont : +5, -10 et +10.

Nous pouvons évidemment déduire de la loi de probabilité de X, comptant les nombres pairs, la loi de probabilité de G :


Le joueur peut en moyenne espérer gagner : -1€25.
Ce jeu lui est donc défavorable.
Si E(G) < 0 , le jeu est dit défavorable au joueur. Il est alors évidemment favorable à l’organisateur du jeu.
Si E(G) = 0 , le jeu est dit équitable.
Si E(G) > 0 , le jeu est dit favorable au joueur.
4/ Variable aléatoire : variance, écart type
Le résultat trouvé pour la moyenne ( ou espérance ), a plus ou moins de sens
du point de vue statistique, selon la répartition des valeurs de X autour de cette moyenne.
Il existe donc des paramètres qui permettent de mesurer la pertinence de ce résultat.
Une idée simple est de faire la moyenne des écarts à la moyenne affectés des pi
Mais, un écart positif pouvant compenser un écart négatif, on fait la moyenne des écarts au carré.
Cette moyenne est appelée la variance de X et notée V(X).


il est possible de démontrer qu'elle vaut également



Pour récupérer l’écart moyen, il faut alors prendre la racine de la variance.
Ce résultat est appelé l’écart type de X et noté avec un petit sigma.
Si cet écart est faible en pourcentage par rapport à E(X) alors la valeur de E(X) a un sens.
Ce résultat est appelé l’écart type de X et noté avec un petit sigma.

Si cet écart est faible en pourcentage par rapport à E(X) alors la valeur de E(X) a un sens.
Sur l’exemple n° 2, transformé en jeu :
Alors que l'espérance est de -1,25Remarque :
Ce qui signifie qu’ici la valeur de l’espérance n’a pas beaucoup de sens, sinon celui d’inciter le joueur à ne pas jouer, le jeu lui étant défavorable.
Si le joueur fait cent parties, en les supposant indépendantes,
il peut en moyenne espérer gagner 100 fois l’espérance, soit : -125 €.
Cette hypothèse est pertinente car le jeu étant de pur hasard,on voit mal comment il pourrait s’améliorer d’une partie à l’autre
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