Droites et plans de l'espace

Cours maths 1ère S

Droites et plans de l'espace :
Droites et plans de l'espace
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Propriétés de base
 
 

 Propriété 1

 Etant  donnés deux points A et B distincts de l’espace, il existe une droite et une seule contenant A et B.
 On la désigne par (AB)

 
 Propriété 2

 Etant  donnés trois points A , B et C  non alignés, il existe un plan et un seul  noté (ABC), contenant
ces trois points.
 
 
Définition

 Quatre points  A , B , C et D de l’espace sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

 

 Propriété 3

  Si A et B sont deux points distincts, la droite (AB) est contenue dans tous les plans passant par A et B.


Détermination d’un plan 
 
Un plan est déterminé par l’une des quatre situations suivantes :
                   
 
►Trois points non alignés                                                                                                                                  ► Deux droites sécantes 


                                                              





 ► Deux droites parallèles non confondus                                 ►  Une droite et un point n’appartenant pas à la droite 


                                                             



Position relative de deux plans

 
Deux plans   de l’espace sont :           
 
► Soit sécants suivants une droite D 






► Soit strictement parallèle





► Soit confondus





Deux plans sont dits parallèles s’ils strictement parallèles ou confondus


Propriété

1) Si deux plans distincts
ont au moins un point commun, alors ils sont sécants.
2) Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux  :
    si  et   alors

3) Si 
sont parallèles et si  alors

sont parallèles :
  
         si 
et      alors

              (transitivité de la notion du parallélisme)         


Méthode

Pour déterminer l’intersection de deux plans, il suffit de trouver deux points communs aux deux plans. L’intersection de ces deux plans  est la droite contenant ces deux points.


Position relative d’une droite et d’un plan

La droite D et le plan P sont sécants



La droite D et le plan P on un seul point en commun = le point A.       


Méthode

► La droite D est parallèle au plan P :

• La droite D est strictement parallèle au plan P

       

La droite D et le plan P n’ont aucun point en commun


• La droite D est incluse dans le plan P



On note           


Propriétés


Propriété 1

Si une droite D contient deux points A et B d’un plan P, alors la droite D
est incluse dans ce plan.

Propriété 2

Pour qu’une droite soit parallèle à un plan, il Faut et il suffit qu’elle soit parallèle à une droite.


                       



Propriété

Pour que deux plans soient parallèles il suffit que l’un des deux  continue deux droites sécantes parallèles à l’autre.


      


Si

sécantes ,

  alors 



Remarques


Attention !

• Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèles entre elles.






mais

n’est pas parallèle à          


 Deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre eux.

Position relative d’une droite et d’un plan

Deux droites de l’espace sont :
    - soit coplanaires : elles sont alors parallèles ou sécants ,
    - soit non coplanaires : elles ne sont ni parallèles ni sécants.

  et  sont coplanaires 





  et sont non coplanaires 





Propriété

Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
2) Si
  est parallèles à et est parallèle à    
    alors
est parallèle à


Règles d’incidence



Propriété

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites intersection sont parallèles entre elles.







Si   et P sécant à  alors P est

sécant à  et  où         



Propriété

Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.  




Théorème du toit


Théorème

Soient P et P’ deux plans de l’espace sécants suivant une droite  . Si une droite de P est parallèle à une droite D’ de P’ , alors est parallèle
à D et D’.






Orthogonalité de deux droites


Deux droites et sont dites orthogonales si  l’une des parallèles à coupe perpendiculairement 






et  sont perpendiculaires


Remarque




Les deux mots « orthogonal » et «  perpendiculaire» ne sont pas synonymes.

Deux droites sont dites perpendiculaires lorsqu’elles sont sécantes, donc coplanaires et se coupent suivant un angle droit.


Exemples




Les droites (AE) et (BC) sont orthogonales.
Les droites (AE) et (AD) sont Perpendiculaires (et orthogonales).

Deux droites orthogonales à une même troisième droite ne sont pas nécessairement parallèles.

Les droites (EF) et (FB) sont perpendiculaires à la (FG) mais elles ne sont pas parallèles !


Orthogonalité d’une droite et d’un plan



Définition

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.




La droite D est orthogonale en plan P . Elle est orthogonale aux droites   et plus généralement à toute droite contenue dans le plan P.


Propriété

Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan alors elles sont parallèles.


Plan médiateur 


Définition

Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaires à ce segment en son milieu.





Le plan P est le plan médiateur du segment [AB]. Est le mien du
segment [AB] 

Caractérisation du plan médiateur

Le plan médiateur d’un segment [AB] est l’ensemble des Points équidistants de A et de B.




P est le plan médiateur du segment [AB].







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