Droites et plans de l'espace
Cours maths 1ère S
Droites et plans de l'espace : Droites et plans de l'espace |
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Propriétés de base
Propriété 1
Etant donnés deux points A et B distincts de l’espace, il existe une droite et une seule contenant A et B.
On la désigne par (AB)
Propriété 2
Etant donnés trois points A , B et C non alignés, il existe un plan et un seul noté (ABC), contenant
ces trois points.
Définition
Quatre points A , B , C et D de l’espace sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.
Propriété 3
Si A et B sont deux points distincts, la droite (AB) est contenue dans tous les plans passant par A et B.
Détermination d’un plan
Un plan est déterminé par l’une des quatre situations suivantes :
►Trois points non alignés ► Deux droites sécantes


► Deux droites parallèles non confondus ► Une droite et un point n’appartenant pas à la droite


Position relative de deux plans
Deux plans

► Soit sécants suivants une droite D

► Soit strictement parallèle

► Soit confondus

Deux plans sont dits parallèles s’ils strictement parallèles ou confondus
Propriété
1) Si deux plans distincts

2) Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux :
si



3) Si



sont parallèles :
si



(transitivité de la notion du parallélisme)
Méthode
Pour déterminer l’intersection de deux plans, il suffit de trouver deux points communs aux deux plans. L’intersection de ces deux plans est la droite contenant ces deux points.
Position relative d’une droite et d’un plan
► La droite D et le plan P sont sécants
.jpg)
La droite D et le plan P on un seul point en commun = le point A.

Méthode
► La droite D est parallèle au plan P :
• La droite D est strictement parallèle au plan P

La droite D et le plan P n’ont aucun point en commun

• La droite D est incluse dans le plan P

On note

Propriétés
Propriété 1
Si une droite D contient deux points A et B d’un plan P, alors la droite D
est incluse dans ce plan.
Propriété 2
Pour qu’une droite soit parallèle à un plan, il Faut et il suffit qu’elle soit parallèle à une droite.


Propriété
Pour que deux plans soient parallèles il suffit que l’un des deux continue deux droites sécantes parallèles à l’autre.

Si




Remarques

• Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas obligatoirement parallèles entre elles.


mais



Deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre eux.
Position relative d’une droite et d’un plan
Deux droites de l’espace sont :
- soit coplanaires : elles sont alors parallèles ou sécants ,
- soit non coplanaires : elles ne sont ni parallèles ni sécants.






Propriété
Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
2) Si






Règles d’incidence
Propriété
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites intersection sont parallèles entre elles.

Si


sécant à



Propriété
Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.

Théorème du toit
Théorème
Soient P et P’ deux plans de l’espace sécants suivant une droite



à D et D’.

Orthogonalité de deux droites
Deux droites








Remarque

Les deux mots « orthogonal » et « perpendiculaire» ne sont pas synonymes.
Deux droites sont dites perpendiculaires lorsqu’elles sont sécantes, donc coplanaires et se coupent suivant un angle droit.
Exemples

Les droites (AE) et (BC) sont orthogonales.
Les droites (AE) et (AD) sont Perpendiculaires (et orthogonales).
Deux droites orthogonales à une même troisième droite ne sont pas nécessairement parallèles.
Les droites (EF) et (FB) sont perpendiculaires à la (FG) mais elles ne sont pas parallèles !
Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Définition
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.

La droite D est orthogonale en plan P . Elle est orthogonale aux droites

Propriété
Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan alors elles sont parallèles.
Plan médiateur
Définition
Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaires à ce segment en son milieu.

Le plan P est le plan médiateur du segment [AB].

segment [AB]
Caractérisation du plan médiateur
Le plan médiateur d’un segment [AB] est l’ensemble des Points équidistants de A et de B.

P est le plan médiateur du segment [AB].

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