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Cours maths 6ème

Division euclidienne

On revient sur la division euclidienne d’un nombre entier par un autre non nul et on précise le vocabulaire qui y est attaché : dividende, diviseur, quotient et reste. On aborde les notions de multiple et de diviseur et on énonce les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9.

 

Un problème d’œufs…

 

Un fermier vend ses œufs à la demi-douzaine, c’est-à-dire par paquets de 6.
Aujourd’hui ses poules ont perdu 40 œufs.

 

Pour trouver combien de demi-douzaines il pourra vendre aujourd’hui, il faut faire la division euclidienne de 45 par 6 :

 

On a : 45 = ( 6 x 7 ) + 3

Le fermier pourra vendre 7 demi-douzaines d’œufs et il lui en restera 3.

Division euclidienne

Définition :
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier non nul b, c’est : ⇒déterminer combien de paquets de b unités sont contenus dans a : ce nombre de paquets est appelé quotient et noté q, ⇒déterminer le nombre d’unités qui restent : ce nombre est appelé reste et est noté r. Le nombre a s’appelle le dividende et le nombre b s’appelle le diviseur.

Attention : Le reste est toujours inferieur au diviseur.

 

Multiples et diviseurs

Définition : Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro, c’est-à-dire lorsque «la division tombe juste», on dit que :
⇒a est un multiple de b
⇒b est un diviseur de a
⇒a est divisible par b

Exemples :

• 12 est un multiple de 4 car 4 est un diviseur de 12.
Mais aussi 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12.

13 n’est pas multiple de 4 car :

 

Critères de divisibilité

Il peut être intéressant de savoir rapidement si un entier est divisible ou non par un autre et c’est parfois très facile grâce à des règles qui permettent de reconnaître les nombres divisibles par 2 , 4 , 5 , 3 et 9. Ces règles sont appelées critères de divisibilité.

 

Critère de divisibilité par 2

 

Un nombre entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8...

Un nombre qui est divisible par 2 est un nombre pair.

18, 24, 46, 178, 380 sont des nombres pairs, ils sont divisibles par 2.

Un nombre qui n’est pas divisible par 2 est un nombre impair.

15, 27, 53, 121 sont des nombres impairs.

 

Critère de divisibilité par 4

 

Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

116 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4.

16 = 4 x 4 donc 116 est un multiple de 4.

 

Critère de divisibilité par 5

 

Un nombre entier est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

15, 40, 135, 280 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 0 ou par 5.

 

Critère de divisibilité par 3

 

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

Le nombre 516 est-il divisible par 3 ?
On a 5 + 1 + 6 = 12.
Or 12 = 3 x 4.
12 est divisible par 3 donc 516 est divisible par 3.
On a 516 = 172 x 3 ...

 

Critère de divisibilité par 9

 

Un nombre est divisible par 9 si la somme de des chiffres est un multiple de 9.

Le nombre 486 est-il divisible par 9 ?
On a 4 + 8 + 6=18.
Or 18=9 x 2.
18 est divisible par 9 donc 486 est divisible par 9.
On a 486=5 4 x 9 ...