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Cours maths 3ème

Développement

Ce cours a pour objectifs de faire travailler le développement d’une expression littérale à l’aide de la double distributivité ou d’une identité remarquable.

 

Rappel : Double distributivité

Définition : Développer un produit, c’est le transformer en somme.

Règle :

Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :

Exemple :

Activité 1 : Carré d’une somme; développement de (a+b)2

On peut calculer l’aire du carré ABCD de 2 façons différentes :

Méthode 1 :
C’est un carré de côté (a + b), son aire est

A = (a + b)²

Méthode 2 :
On additionne les aires des 4 rectangles qui composent ce carré :

A = a2 + ab + ab + b2
A = a² + 2ab + b²

 

En résumé :

Retrouvons ce résultat par le calcul :

L’expression (a+b)² peut s’écrire sous la forme d’un produit :

(a+b)² = (a+b)(a+b)

On utilise ensuite la double distributivité :

(a+b)² = (a + b)(a + b)
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²

Cours : Identité remarquable n°1

On a vu en activité :

Quels que soient les nombres a et b :

 

Exemple :

(3y + 1)² = (3y)² + 2×3y×1 + 1²
= 9y² + 6y + 1

 

Application au calcul mental :

101² = (100 + 1)²
= 100² + 2 ×100 ×1 + 1²
= 10 000 + 200 + 1
= 10 201

 

Activité 2 : Carré d’une différence; développement de (a-b)2

On veut calculer l’aire de la surface colorée :

Méthode 1 :
La partie colorée est un carré de côté (a – b), son aire est:

A = (a – b)²

Méthode 2 :

A = a2 - ab - ab - b2
A = a² - 2ab + b²

 

En résumé :

Retrouvons ce résultat par le calcul :

L’expression (a – b)² peut s’écrire sous la forme d’un produit

(a – b)² = (a – b)(a – b)

On utilise ensuite la double distributivité :

(a – b)² = (a – b)(a – b)
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²

 

 

Cours : Identité remarquable n°2

On a vu en activité :

Quels que soient les nombres a et b :

 

Exemple :

(2y – 3)² =(2y)² – 2×2y×3 + 3²
= 4y² – 12y + 9

 

Application au calcul mental :

98² = (100 – 2)²
= 100² – 2 ×100 × 2 + 2²
= 10 000 – 400 + 4
= 9 604

 

Activité 3 : Développement de (a + b)(a – b)

On considère deux trapèzes rectangles identiques dont on veut calculer l’aire totale.

Méthode 1 :

On assemble les deux trapèzes comme l’indique la figure ci-dessous.

Méthode 2 :

On assemble les deux trapèzes comme l’indique la figure ci-dessous.

On obtient un rectangle de dimensions (a + b) et (a – b). Son aire est : A = (a + b) (a – b)

Conclusion :

 

Retrouvons ce résultat par le calcul :

 

On utilise la double distributivité :

(a + b)(a – b) = a² – ab + ba – b²
= a² – b²

 

Cours : Identité remarquable n° 3

On a vu en activité :

Quels que soient les nombres a et b :

 

Exemple :

(5y + 2)(5y – 2) = (5y)² – 2²
= 25y² – 4

Application au calcul mental :

102 × 98 = (100 + 2)(100 – 2)
= 100² – 2²
= 10 000 – 4
= 9 996