Dérivation - Application

Cours maths 1ère S

Dérivation - Application :
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Dérivation : applications

 
La notion de dérivée a de nombreuses applications.
Nous allons en voir quelques unes.

La première d’entre elles, sinon la plus importante, est l’application à l’étude des variations d’une fonction et à la recherche de ses extrema.
 

 
 Application à l’étude des variations d’une fonction
 
 
 Du sens de variation au signe de la dérivée

 
 
Propriété
 
Soit  une fonction dérivable sur un intervalle
• Si
  est croissante sur  , alors    est  positive ou nulle sur .
• Si
  est décroissante sur , alors   est négative ou nulle sur .
• Si
  est constante sur , alors est nulle sur .
 
 
Démonstration

 






Du signe de la dérivée au sens de variation



Théorème de la monotonie (admis)

Soit 
une fonction dérivable sur un intervalle .
 ►Si, pour tout    ,  , alors
est  croissante sur .
 ►Si, pour
, alors est  décroissante sur 
 ►Si, pour tout , alors est constante sur   

Exemple








Méthode



Le sens de variation d’une fonction dérivable est donné par le signe de sa dérivée.
Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on calcule donc sa dérivée, puis on détermine le signe de la dérivée et on dresse le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variations de la fonction.


Exemple





















Extrema locaux


Définitions

 Soit f une fonction définie sur l’intervalle
  et soit
On dit que f admet un maximum local en a s’il existe un intervalle ouvert    tel que   et tel que ,pour tout  on ait

On dit que f admet un minimum local en a s’il existe un intervalle ouvert
tel que   et tel que ,pour tout on ait

Un extremum local est soit un maximum local ,ou soit un minimum local.                                                                      


Extrama locaux


 



Fonctions dérivables et extrema
 

Propriété


Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
.
Si la fonction admet un extremum ou un extremum local en un point a et si a n’est pas une borne de
, alors
                                                                  
Démonstration








Attention







Exemple


                              




Remarque




                      





                 



Application de la dérivée à la recherche de limites

L’utilisation de la dérivée peut permettre de trouver dans certains cas des limites qui sont des formes indéterminées.


Exemple











 
         Cours complémentaires :

► Nombre dérivé
► Fonction dérivée
► Fonctions-Comportement global
► Sommaire cours maths 1ère S

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