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Cours maths 1ère S

Dérivation - Application

Dérivation - Application

 

Dérivation : applications

La notion de dérivée a de nombreuses applications.
Nous allons en voir quelques unes.

La première d’entre elles, sinon la plus importante, est l’application à l’étude des variations d’une fonction et à la recherche de ses extrema.

 

Application à l’étude des variations d’une fonction

Du sens de variation au signe de la dérivée
Propriété

Soit une fonction dérivable sur un intervalle
• Si est croissante sur , alors est positive ou nulle sur .
• Si est décroissante sur , alors est négative ou nulle sur .
• Si est constante sur , alors est nulle sur .

Démonstration

Du signe de la dérivée au sens de variation
Théorème de la monotonie (admis)

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
►Si, pour tout , , alors est croissante sur .
►Si, pour , , alors est décroissante sur
►Si, pour tout , , alors est constante sur

Exemple

Méthode

Le sens de variation d’une fonction dérivable est donné par le signe de sa dérivée.
Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on calcule donc sa dérivée, puis on détermine le signe de la dérivée et on dresse le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variations de la fonction.

Exemple

 

Extrema locaux

Définitions

Soit f une fonction définie sur l’intervalle et soit

On dit que f admet un maximum local en a s’il existe un intervalle ouvert tel que et tel que ,pour tout on ait

On dit que f admet un minimum local en a s’il existe un intervalle ouvert tel que et tel que ,pour tout on ait

Un extremum local est soit un maximum local ,ou soit un minimum local.

 

Extrama locaux

 

Fonctions dérivables et extrema

Propriété

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle .
Si la fonction admet un extremum ou un extremum local en un point a et si a n’est pas une borne de , alors

Démonstration

Attention

Exemple

Remarque

 

Application de la dérivée à la recherche de limites

L’utilisation de la dérivée peut permettre de trouver dans certains cas des limites qui sont des formes indéterminées.

Exemple