Cônes et cylindres illimités

 
 
1/ Equations de plans particuliers

Pour appréhender la nature d’une surface de l’espace, il est souvent intéressant
de chercher ses intersections avec des plans de l’espace.

Aussi, passons en revue les équations des plans les plus fréquemment rencontrés :

Rappelons tout d’abord que tout plan de l’espace

  
  
- plan parallèle au plan (xOy) :

 
- plan parallèle au plan (yOz) :
  
  
- plan parallèle au plan (xOz) :

  
 
   
  
 
  
 

Démonstration

Soit (P) parallèle à (Ox) d’équation ax+by+cz+d = 0.
est une vecteur normal à (P) et  est un vecteur directeur de (P).

Donc : et  sont orthogonaux d’où :  Soit :
             .
Par conséquent a=0 et (P) a une équation du type : 

 
 
  
  
- plan parallèle à l’axe (Ox) :
  
 
- plan parallèle à l’axe (Oy) :
  
  
- plan parallèle à l’axe (Oz) :


 
 
 
 
Remarque
ces formules sont très simples à retenir.
En effet, si (P) est parallèle à (Ox) alors son équation n’a pas de x et ainsi de suite…


2/ Surface de révolution

Définition
soit une surface (S) et une droite (D).

(S) est une surface de révolution d’axe de révolution (D) si :
les sections de (S) par des plans perpendiculaires à (D) sont des cercles de centre situé sur (D).

Vocabulaire :
ces cercles sont appelés les parallèles à (S).

Exemple
1° Une sphère est une surface de révolution d’axe toute droite passant par son centre.
2° Ce cône est une surface de révolution d’axe de révolution, l’axe (Oz).

  une parallèle de (S)


Génération d’une surface de révolution :
La rotation d’une courbe autour d’une droite fixe engendre une surface de révolution.

Cette courbe est appelée une génératrice.

Vocabulaire :
La section d’une surface de révolution par un demi-plan de frontière l’axe de révolution est appelée une méridienne.

Propriété
Toute méridienne est une génératrice de la surface de révolution.

La rotation de cette droite autour del'axe (Oz) engendre la surface de révolution, c'est une génératrice.

soit un axe () et une droite (D) parallèle à (

Propriété
toute droite passant par un point du cylindre et parallèle à () est une génératrice.

Théorème
Le cylindre illimité (C) d’axe (Oz) et de rayon r est l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) de l’espace 




Démonstration
Soit M( x ; y ; z ) et soit H projeté orthogonal de M sur (Oz).
H a pour coordonnées ( 0 ; 0 ; z ).

1° Section par un plan orthogonal à (Oz) :

Soit (P) d’équation z = a.
 est le cercle de centre H ( 0 ; 0 ; a ) et de rayon r.

2° Section par un plan parallèle à (Oz) :
Soit par exemple le plan (P) d’équation y = a.

Il s’agit de l’intersection de deux plans non parallèles,par conséquent, c’est une droite.

La rotation de (D) autour de ()  engendre un cône illimité d’axe ().
Le point A intersection de (D) et () est appelé sommet du cône.
L’angle géométrique formé par (D) et () est appelé angle du cône .
Cet angle est aussi appelé « demi-angle au sommet » du cône

Théorème :
Le cône illimité (C) d’axe (Oz) de sommet O et d’angle
est l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) de l’espace

Démonstration
Soit M( x ; y ; z ) et soit H projeté orthogonal de M sur (Oz).
H a pour coordonnées ( 0 ; 0 ; z ).

1° section par un plan orthogonal à (Oz)
Soit (P) d'équation z = a

est le cercle de centre h (0 ; 0 ; a) et de rayon

Remarque
Si a = 0 : ce cercle est réduit à un seul point : le sommet O

le plan passe alors par le sommet du cône

2° section parallèle à (Oz) :
Soit par exemple le plan (P) d'équation y = a 

- Si a 0 alors : il est possible de montrer que