Complexes - forme algébrique
Complexes - forme algébrique : Dans ce module, introduction algébrique et manipulation de nouveaux nombres : les nombres complexes. |
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1/ Rappels sur la construction des nombres réels

des nombres entiers relatifs

des nombres décimaux

et des nombres rationnels

Puis en quatrième, à la fin de problèmes géométriques utilisant le théorème, tu as eu à résoudre des équations du type : x² = 2

cette équation n'ayant pas de solution dans



et qui n'étant pas un nombre rationnel est qualifié de nombre irrationnel.
Attention
cette équation a en fait deux solutions, et en est la solution positive.
La solution négative étant son opposée :


Cependant X ² reste toujours positifs en raison de la règle du signe d'un produit.
a qui lui ai égal ne peut être choisi que parmis les nombres positifs.
C'est pourquoi l'équation X ² = - 1 , en particulier n'a pas de solution .

certains que tu connais depuis longtemps...
Et d'autres que tu vas rencontrer en cette année de terminale.
La reunion des nombres rationnels et irrationnels forme l'ensemble des nombres réels.

ils sont qualifiés de réels car ils permettent de quantifier tout ce qui dans notre réalité peut se voir assigner une valeur.
2/ Création d’un nouveau nombre
C’est pourquoi, pour compléter IR,les mathématiciens ont imaginé un nouveau nombre, noté i.
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3/ Construction des nombres imaginaires purs
Une fois imaginé i, on a ensuite généré une infinité de nouveaux nombres en multipliant i par les nombres réels.



0 i = 0 x i = 0

En utilisant les propriétés de la multiplication onobtient également :
(4i)² = 4² x i² = (16) x (-1) = -16
plus généralement un nombre imaginaire se note yi, avec y élement de R.
En général, on utilisera si possible la variable y pour noter un imaginaire pur.
( Ceci pour des raisons géométriques. )
Et (yi)² étant égal à : -y².
Les nombres imaginaires purs sont donc des nombres dont le carré est
toujours nombre réel négatif.
Première conséquence
0 est le seul nombre à la fois réel et imaginaire pur.
Deuxième conséquence
Les équations du type X ² = a avec a < 0
ont maintenant elles aussi deux solutions imaginaires pures.
Par exemple X ² = - 4 a pour solution 2i et -2i.
De même, un discriminant négatif, tel que
possède à présent deux racines imaginaires pures opposées.
4/ Construction des nombres complexes

La reunion des réels, et des imaginaires purs et des nouveaux nmbres ainsi fabriqués forment un nouvel ensemble appélé ensemble des nombres complexes.
La variable utilisée pour nommer les nombres complexes est Z.

Exemple




5/ Caracterisation des réels et des imaginaires purs
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autrement dit :
un nombre complexe est nul
si et seulement si
sa partie réelle ET sa partie imaginaire sont nulles
(sur le graphique notée 0)
6/ Calcul dans nombres complexes

(nombres complexes) est muni des mêmes opérations que R et Ri , obéissant aux mêmes règles de calcul.
Quelques exemples :
Une addition de nombres complexes :
Une multiplication de nombres complexes:![]()
Une division d'un complexe par un réel :
Attention !
Le calcul n'est véritablement terminé que lorsquele resultat est écrit sous forme algébrique .
Une division d'un complexe par un imaginaire pur :
Pour arriver à la forme algébrique il faut ici arriver à se debarrasser de i au denominateur, en commençant par scinder la fraction.
En suite on multiplie le numérateur et le dénominateur par la fraction i.
* Un premier calcul utilisant une identité remarquable :
* Un deuxième calcul utilisant une identité remarquable :
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Et enfin une division d’un complexe par un complexe ni réel ni imaginaire pur :
Dans ce cas aussi,il faut arriver à se débarrasser de i au dénominateur……mais impossible de scinder la fraction.

7/ Définition et calcul du conjugué d’un nombre complexe
que celle que l'on utilise quand on veut se debarrasser
des racines carrées au dénominateur, à savoir :
la technique de la quantité conjuguée.
C'est pourquoi : 3 - 4i est appélé le conjugué de 3 + 4i.
Plus généralement, si , son conjugué vaut
ExempleSialors
![]()
Sialors
plus généralement si z est réel alorsSi z = 3i alors
plus généralement si z est imaginaire pur alorsSi z = 3i - 2![]()
Attention !
c'est l'erreur classique due au fait que cette écriture n'est pas la forme algébrique.
Il faut donc acquérir de toujours mettre un nombre complexe sous forme algébrique.
alors
8/ Lien entre conjugué et parties réelles et imaginaires




et


9/ Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide du conjugué
On a déjà vu les deux sens directs, à savoir :

Montrons les deux réciproques :
On vient de prouver :
Donc siOn a également prouvé :
D'où, sialors z réel.
Donc si :
D'où, sialors z imaginaire pur.
Remarque:
Il faut savoir utiliser ces équivalences dans les deux sens :
- Pour calculer le conjugué d’un réel ou d’un imaginaire pur.
- Pour prouver qu’un nombre complexe est réel ou imaginaire pur.
10/ Propriété fondamentale du conjugué d’un nombre complexe


Démontrons pour tout z, ce que nous avons déjà vu pour 3 - 4i, à savoir :
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C'est LA grande propriété du conjugué, celle pour laquelle il a été inventé
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Remarque
Le produit d’un nombre complexe par son conjugué est donc toujours un nombre réel positif.
11/ Propriétés algébriques du conjugué d’un nombre complexe
le conjugué d'un nombre complexe possède également les propriétés suivantes :

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Enfin conséquence de 3 et 5

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