Complexes - forme algébrique

 
 
1/ Rappels sur la construction des nombres réels

Jusqu'en classe de cinquième tu as travaillé avec des nombres entiers naturels :


des nombres entiers relatifs 


des nombres décimaux 



et des nombres rationnels



Puis en quatrième, à la fin de problèmes géométriques utilisant le théorème, tu as eu à résoudre des équations du type : x² = 2


cette équation n'ayant pas de solution dans .... on a dû completer avec un nouveau nombre, appélé racine carrée de 2. Qui vérifie donc: 
et qui n'étant pas un nombre rationnel est qualifié de nombre irrationnel.

Attention
cette équation a en fait deux solutions, et en est la solution positive.

La solution négative étant son opposée :

Plus généralement on a aussi complété avec des solutions rationnelles des équations du type X ² = a.



Cependant X ² reste toujours positifs en raison de la règle du signe d'un produit.

a qui lui ai égal ne peut être choisi que parmis les nombres positifs.

C'est pourquoi l'équation X ² = - 1 , en particulier n'a pas de solution .

 

ils sont qualifiés de réels car ils permettent de quantifier tout ce qui dans notre réalité peut se voir assigner une valeur.   

C’est pourquoi, pour compléter IR,les mathématiciens ont imaginé un nouveau nombre, noté i.

Et vérifiant donc : 

3/ Construction des nombres imaginaires purs

Une fois imaginé i, on a ensuite généré une infinité de nouveaux nombres en multipliant i par les nombres réels.

 

puis pour pouvoir calculer sur cet ensemble, on la muni des mêmes opérations que IR, obéissant aux mêmes règles de calcul.

Première conséquence
0 est le seul nombre à la fois réel et imaginaire pur.

Deuxième conséquence
Les équations du type X ² = a avec a < 0
ont maintenant elles aussi deux solutions imaginaires pures.

Par exemple X ² = - 4 a pour solution 2i et -2i.

De même, un discriminant négatif, tel que 

possède à présent deux racines imaginaires pures opposées. 

4/ Construction des nombres complexes

Exemple

5/ Caracterisation des réels et des imaginaires purs

Soit  élément de nombres complexes

et donc : 



autrement dit :
un nombre complexe est nul
si et seulement si
sa partie réelle ET sa partie imaginaire sont nulles
(sur le graphique notée 0)

(nombres complexes) est muni des mêmes opérations que R et Ri , obéissant aux mêmes  règles de calcul.

Quelques exemples : 

Une addition de nombres complexes :

Une multiplication de nombres complexes:

 

Une division d'un complexe par un réel :

Attention !
Le calcul n'est véritablement terminé que lorsquele resultat est écrit sous forme algébrique .

Une division d'un complexe par un imaginaire pur :

Pour arriver à la forme algébrique il faut ici arriver à se debarrasser de i au denominateur, en commençant par scinder la fraction.

En suite on multiplie le numérateur et le dénominateur par la fraction i.

* Un premier calcul utilisant une identité remarquable :

* Un deuxième calcul utilisant une identité remarquable :

Et enfin une division d’un complexe par un complexe ni réel ni imaginaire pur :

Dans ce cas aussi,il faut arriver à se débarrasser de i au dénominateur…

…mais impossible de scinder la fraction.

7/ Définition et calcul du conjugué d’un nombre complexe

Plus généralement, si  , son conjugué vaut 

Exemple

Si    alors  
Si  alors   

plus généralement si z est réel alors 

Si z = 3i  alors   
plus généralement si z est imaginaire pur alors 

Si z = 3i - 2  

Attention  !
c'est l'erreur classique due au fait que cette écriture n'est pas la forme algébrique.

Il faut donc acquérir de toujours mettre un nombre complexe sous forme algébrique.

alors 

8/ Lien entre conjugué et parties réelles et imaginaires

Soit  élément de



 et 

9/ Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide du conjugué

On a déjà vu les deux sens directs, à savoir :

Montrons les deux réciproques : 

On vient de prouver :  

Donc si 
D'où, si alors z réel.

On a également prouvé : 

Donc si : 
D'où, si  alors z imaginaire pur.

Remarque:
Il faut savoir utiliser ces équivalences dans les deux sens :
- Pour calculer le conjugué d’un réel ou d’un imaginaire pur.
- Pour prouver qu’un nombre complexe est réel ou imaginaire pur.


10/ Propriété fondamentale du conjugué d’un nombre complexe

Soit  element de
Démontrons pour tout z, ce que nous avons déjà vu pour 3 - 4i, à savoir :



C'est LA grande propriété du conjugué, celle pour laquelle il a été inventé

Remarque
Le produit d’un nombre complexe par son conjugué est donc toujours un nombre réel positif.

11/ Propriétés algébriques du conjugué d’un nombre complexe

le conjugué d'un nombre complexe possède également les propriétés suivantes :