Complexes - équations

 
 
 1/ Equations du premier degré dans

On résout les équations du premier degré dans de même que dans

Exemple

Résoudre l'équation 

L’objectif étant de trouver la solution et de la mettre sous forme algébrique.

La stratégie ici, consiste à manipuler l’équation afin d’avoir z dans un seul membre et de pouvoir le mettre en facteur.

En enlevant 5z puis 3 aux deux membres de l’égalité, on obtient :

 

Attention !

Avant d'utiliser son conjugué, il faut mettre ce nombre (2i - 5) sous forme algébrique.

La solution de l'équation est donc 

 2/ Equations utilisant la forme algébrique

Pour résoudre certaines équations dans , il est parfois nécessaire de mettre l'inconnue sous forme algébrique, pour pouvoir utiliser l'une des propriétés suivantes :

Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Ou sa conséquence :

Deux nombres complexes sont égaux
si et seulement si
ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Exemple

Résoudre l'équation 



posons 

Alors, z solution de 
                                          
Il faut maintenant mettre ce membre sous forme algébrique. 

La solution de l’équation est donc: 

4/ Equations du second degré dans

Rappel dans R sur un exemple : 

Soit l'équation   calcul du discriminant 

donc  possède deux racines opposées réelles 

par conséquent, l'équation admet : deux solutions réelles
 

Transposition à
Soit l'équation  calcul du discriminant 

donc  possède deux racines opposées imaginaires pures :  par conséquent, l'équation admet : deux solutions complexes. 

Il est à noter que ces deux racines complexes sont conjuguées.

Cas général et bilan

Soit l'équation  avec a, b et c élément de IR. 

 possède toujours dans  deux racines opposées :  et l'équation a pour solution(s) : 

Qui ne peuvent pas être égale car on aurait alors  d'où ce qui est impossible avec .

5/ Représentation d’un nombre complexe par un vecteur du plan

A partir de tout nombre complexe : 

Il est possible de construire un vecteur   du plan de coordonnées  pour cela, il faut tout d'abord doter le lan d'une base, qui ne sera pas noée  mais pour éviter toute confusion avec i .

Pour pouvoir plus tard utiliser le théorème de Pythagore, on prend une base orthonormée.

   représente le nombre complexe : 2 - 3i

A tout nombre complexe correspond un inque vecteur du plan dans une base donnée.

Ce qui d'un point de vue pratique s'utilise de la sorte :



Si deux vecteurs sont égaux alors ils ont même affixe.

Reciproquement :

Si deux vecteurs ont même affixe alors ils sont égaux.



Voici maintenant, quelques propriétés sur les affixes de vecteurs qui découlent de façon évidente des propriétés connues sur les coordonnées de vecteurs. 



L'affixe du vecteur nul est nulle.



L'affixe du vecteur opposé est l'opposée de l'affixe du vecteur.




L'affixe de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des affixes de ces deux vecteurs.

En conséquence des propriétés 3 et 4 :



L'affixee de la difference de deux vecteurs est égal à la difference des affixes des deux vecteurs.  



Cette propriété est très utilse pour montrer que deux vecteurs son colinéaires.

Munissons maintenant notre plan d'un repère orthonormé :

 - une origine.
 - une base orthonormée.

A partir de tout nombre complexe : on peut alors construire un point M du plan de coordonnées (x ; y)

A(4;2) représente le nombre complexe : 4 + 2i .

4 + 2i est appelé affixe du point A.

A est appélé image de 4 + 2i .

A tout nombre complexe, correspond un unique point du plan dans un repère donné.

On a donc l'application suivante : 

Ce plan où chaque point represente un nombre complexe est appelé : Plan complexe

On a donc l'application suivante :

Plus généralement les points images de nombres réels ont une ordonnée nulle et sont donc situés sur l'axe des abscisses.

C'est pourquoi cet axe est appelé axe des réels.

 

Plus généralement : les points images de nombres réels ont une ordonnée nulle et sont donc situés sur l'axe des ordonnéeq

C'est pourquoi cet axe est appelé axe des imaginaires purs

0 étant réel et imaginaire pur,son image est sur les deux axes,c’est l’origine du repère.

A tout nombre complexe, correspond un unique point du plan dans un repère donné.

                

 9/ Propriétés de l’affixe d’un point

A tout complexe, correspond un unique point du plan dans un repère donné.

Ce qui d'un point de vue pratique s'utilise de la sorte : 



Si deux points sont confondus alors ils ont même affixe.

Reciproquement :
Si deux points ont même affixe alors ils sont confondus.
Ce qui d'un point de vue pratique s'utilise de la sorte : 



Maintenant quelques propriétés sur les affixes de points qui découlent de façon évidente des propriétés connues sur les coordonnées de points.

Formule que les élèves n'arrivent pas à assimiler alorsqu'elle est très simple à retenir en français :
l'affixe du barycentre est la moyenne pondérée des affixes.

Par définition, les coordonnées du point M dans le repère sont les coordonnées du vecteur   dans la base .

 et M ayant les même coordonnées ils ont donc la même affixe.

Dans le plan complexe de repère

Conséquence :

En effet 

Pour retenir cette formule :   

Cours complémentaires : ► Complexes - forme algébrique ► Complexes - forme trigonométrique ► Complexes - forme exponentielle ► Complexes - transformations

► Sommaire cours maths Terminale S            A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions