Barycentre de trois points

Cours maths 1ère S

Barycentre de trois points :
Barycentre de trois points
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Barycentre de trois points
 
 

Théorème et Définition
 
 
 Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que
.
Alors, il existe un unique point G tel que

                                    
 
Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).

On dit aussi que G est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients  a, b et c.

Remarque

Si
, on ne peut pas définir le barycentre de  (A, a), (B, b) et (C, c).

Existence et unicité du barycentre

 
Démonstration
 
La preuve est identique à celle du cas de deux points.
On a


              

On en déduit




et puisque  

                  
 
d’où l’existence et l’unicité du point G.

 
Exemple
 
 Soient A, B et C trois points du plan et G le barycentre de (A, -2), (B, 1) et (C, 2).

On a
           




 
 
Isobarycentre

Un point important à retenir :

Définition


Pour tout nombre réel a non nul, le barycentre de (A, a), (B, a) et (C, a) est appelé isobarycentre ou centre de gravité de A, B et C.

Propriété de réduction du barycentre


Propriété


Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) avec a+b+c ≠ 0.
Alors, pour tout point M du plan ou de l’espace, on a


                     

La démonstration est identique à celle du cas de deux points.

Remarque

Pour M=A  on obtient

et on retrouve la formule

                        

Une propriété du barycentre

Propriété

Le barycentre de trois points non alignés A, B et C appartient au plan (ABC).

On dit que les points A, B, C et G sont coplanaires.

Démmonstration

Soit G le barycentre des points (A, a), (B, b) et (C, c) avec a+b+c ≠ 0.
Nous avons vu que

                           

Les vecteurs    et   sont donc coplanaires et le point G appartient au plan (ABC).


Coordonnées du barycentre

►Dans le plan


Soit  un repère du plan.

Soient A, B et C trois points du plan de coordonnées respectives

 (xA, yA), (xB , yB) et (xC, yC) et soient a, b et c trois nombres réels tels que
a+b+c ≠ 0.
   .
Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et soient (xG, yG) les coordonnées de G dans le repère
.

D’après la propriété de réduction du barycentre appliquée au point 0 on a



d’où

                   

On en déduit les coordonnées de G :

     


►Dans l'espace


Soit  un repère de l’espace. Soient A, B et C trois points de

l’espace  de coordonnées respectives (xA, yA, zA), (xB, yB, zB) et          (xC, yC, zC) et soient a, b et c trois nombres réels tels que
a+b+c ≠ 0.

Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et soient (xG, yA, zA) les coordonnées de G dans le repère
.

Alors  on a

                    

d’où les coordonnées de G :
   
               




Associativité du barycentre

Théorème

On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d’entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants.

Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés avec a+b+c ≠ 0 et a+b ≠ 0.

Si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et si H est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).

Démonstration

Puisque G est le barycentre de (A, a), (B, b)  et (C, c), on a

   
1)

Comme H est le barycentre de (A, a) et (B, b), on a, d’après la propriété de réduction,



 
d’où en remplaçant dans (1) :



ce qui signifie que G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).


Application de l’associativité du barycentre

L’associativité du  barycentre nous fournit une méthode de construction  du barycentre de plusieurs points.

Exemple

Construire le barycentre G des points (A,2), (B, 1), (C, 1) et (D, -2).





Commençons par construire le barycentre H de (B, 1) et (C, 1).

H est le milieu du segment  [BC].




Par associativité du barycentre, G est le barycentre de (A, 2), (H, 2) et (D, -2).

Soit I le barycentre de (A, 2) et (H, 2).
I est le milieu du segment [AH].

Par associativité du barycentre, G est le
barycentre de (I, 4 ) et (D, -2).



On a donc



c’est-à-dire



ou encore



ou








 
 
 
         Cours complémentaires :

► Barycentre de deux points
► Applications du barycentre
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