Barycentre de trois points
Cours maths 1ère S
Barycentre de trois points : Barycentre de trois points |
| ► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions ► menu 600 VIDEOS |
Barycentre de trois points
Théorème et Définition
Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que
.jpg){kind=small}
.Alors, il existe un unique point G tel que
Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c).
On dit aussi que G est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients a, b et c.
Remarque
Si
, on ne peut pas définir le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c).Existence et unicité du barycentre
Démonstration
La preuve est identique à celle du cas de deux points.
On a
On en déduit
et puisque
d’où l’existence et l’unicité du point G.
Exemple
Soient A, B et C trois points du plan et G le barycentre de (A, -2), (B, 1) et (C, 2).
On a
Un point important à retenir :
Définition
Pour tout nombre réel a non nul, le barycentre de (A, a), (B, a) et (C, a) est appelé isobarycentre ou centre de gravité de A, B et C.
Propriété de réduction du barycentre
Propriété
Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) avec a+b+c ≠ 0.
Alors, pour tout point M du plan ou de l’espace, on a
.jpg){kind=small}
La démonstration est identique à celle du cas de deux points.
Remarque
Pour M=A on obtient
.jpg){kind=small}
et on retrouve la formule
.jpg)
Une propriété du barycentre
Propriété
Le barycentre de trois points non alignés A, B et C appartient au plan (ABC).
On dit que les points A, B, C et G sont coplanaires.
Démmonstration
Soit G le barycentre des points (A, a), (B, b) et (C, c) avec a+b+c ≠ 0.
Nous avons vu que
.jpg)
Les vecteurs
.jpg){kind=small}
, .jpg){kind=small}
et .jpg){kind=small}
sont donc coplanaires et le point G appartient au plan (ABC).Coordonnées du barycentre
►Dans le plan
Soit
un repère du plan.Soient A, B et C trois points du plan de coordonnées respectives
(xA, yA), (xB , yB) et (xC, yC) et soient a, b et c trois nombres réels tels que
a+b+c ≠ 0.
.
Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et soient (xG, yG) les coordonnées de G dans le repère
. D’après la propriété de réduction du barycentre appliquée au point 0 on a
d’où
On en déduit les coordonnées de G :
►Dans l'espace
Soit
.jpg){kind=small}
un repère de l’espace. Soient A, B et C trois points de l’espace de coordonnées respectives (xA, yA, zA), (xB, yB, zB) et (xC, yC, zC) et soient a, b et c trois nombres réels tels que
a+b+c ≠ 0.
Soit G le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et soient (xG, yA, zA) les coordonnées de G dans le repère
.Alors on a
.jpg)
d’où les coordonnées de G :
.jpg)
Associativité du barycentre
Théorème
On ne change pas le barycentre de plusieurs points en remplaçant certains d’entre eux par leur barycentre affecté de la somme (non nulle) des coefficients correspondants.
Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés avec a+b+c ≠ 0 et a+b ≠ 0.
Si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et si H est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).
Démonstration
Puisque G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c), on a
1)
.jpg){kind=small}
Comme H est le barycentre de (A, a) et (B, b), on a, d’après la propriété de réduction,
.jpg){kind=small}
d’où en remplaçant dans (1) :
.jpg){kind=small}
ce qui signifie que G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).
Application de l’associativité du barycentre
L’associativité du barycentre nous fournit une méthode de construction du barycentre de plusieurs points.
Exemple
Construire le barycentre G des points (A,2), (B, 1), (C, 1) et (D, -2).
Commençons par construire le barycentre H de (B, 1) et (C, 1).
H est le milieu du segment [BC].
Par associativité du barycentre, G est le barycentre de (A, 2), (H, 2) et (D, -2).
Soit I le barycentre de (A, 2) et (H, 2).
I est le milieu du segment [AH].
Par associativité du barycentre, G est le
barycentre de (I, 4 ) et (D, -2).
.jpg)
On a donc
c’est-à-dire
ou encore
ou
Cours complémentaires : |
| ► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |