Barycentre de deux points
Cours maths 1ère S
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Un peu d'histoire
Le barycentre qui vient du grec barus (lourd, pesant) et de centre, est

Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, que l’on appelle aujourd’hui centre de gravité, est le mathématicien et physicien Archimède au IIIème siècle avant Jésus-Christ.
Il a écrit dans son traîté sur le centre de gravité des surfaces planes :
« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »
Son principe des moments et des leviers lui a permis de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masses m1 et m2 différentes.

Pour que l’équilibre soit atteint, il faut que les moments m1OA et m2OB soient égaux. Cette condition se traduit par l’égalité vectorielle :

Point pondéré, point massif
Définition
Un point pondéré est un couple (A, a) où A est un point du plan ou de l’espace et a est un nombre réel quelconque.
Un point pondéré est aussi appelé point massif ou point coefficient.
Le nombre réel a est appelé masse ou poids ou coefficient du point A.
Barycentre de deux points
Théorème et Définition
Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés tels que

Alors, il existe un unique point du plan noté G tel que

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A , a) et (B , b).
On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.
Existence et unicité du barycentre
Démonstration
On cherche un point G vérifiant

D’après la relation de Chasles, on a

On en déduit

c’est-à-dire

et puisque


Il existe donc un unique point G vérifiant


Point G
Sur la figure les vecteurs



ce qui signifie que G est le barycentre des points pondérés (A, 3) et (B,1) car


Remarques
1) Si a+b=0 on ne peut pas définir le barycentre de (A, a) et (B, b).
2) Si

Isobarycentre
Définition de l’isobarycentre
Pour tout nombre réel a non nul, le barycentre de (A, a ) et (B, a) est appelé isobarycentre de A et B.
Propriété
L’isobarycentre de A et de B est milieu du segment [A B].
Démonstration
Si G est l’isobarycentre de (A, a) et de (B, a) avec


c’est-à-dire

Puisque


et donc

ce qui montre que G est le milieu du segment [AB].
Remarque
Le préfixe iso signifie égal.
L’isobarycentre de deux points est le barycentre de ces points affectés de masses égales.
Homogénéité du barycentre
Propriété
On ne change le barycentre de deux points massifs en multipliant ou en divisant les coefficients par un même nombre non nul.
Démonstration
Soient A et B deux points et a et b deux nombres réels tel que

Soit k un nombre réel non nul et soit G le barycentre de (A, ka) et (B, kb).
Alors on a

si et seulement si

et puisque


ce qui montre que G est le barycentre de (A, a) et de (B, b).
Propriétés du barycentre
Exemple
Le barycentre de (A, 2) et (B, 3) est aussi celui de (A, 1) et (B, 3/2), celui de (A, 2/3) et (B, 1), celui de (A, 4) et (B, 6),…
►Propriétés du barycentre
• Si A et B sont deux points distincts tout barycentre G de (A, a) et (B, b) avec

• De plus, si a et b sont de même signe , le barycentre G appartient au segment [AB]
Démonstration
• On a vu que si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) avec

alors on a

donc les vecteurs


• Si a et b sont de même signe, on peut se ramener en utilisant l’homogénéité du barycentre au cas où a et b sont tous les deux positifs.
Supposons donc a et b positifs
On a alors

et comme


L’égalité


entraînent que le point G appartient au segment [AB].
Propriété de réduction
Soient (A, a) et (B, b) deux points pondérés
tels que

Alors, pour tout point M du plan ou de
l’espace, on a

Démonstration
Pour tout point M, on a, d’après la relation de Chasles :
.jpg)
Or G est le barycentre de (A, a) et (B, b) donc

d'où

Exemple
.jpg)
G est le barycentre de (A, 1) et (b, 2 ) car

Et on a

Remarques
1 ) Il s’agit d’une propriété importante du barycentre qui permet de remplacer une somme vectorielle par un seul vecteur.
2 ) Si a+b =0, alors (A, a) et (B, b) n’ont pas de barycentre ; dans ce cas on a

Lorsque a+b = 0, le vecteur



Coordonnées du barycentre dans un repère
► Dans le plan
Soit

Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives
(xA, yA) et (xB , yB) dans le repère

.
Alors, le barycentre G de (A, a) et (B, b) avec a+b ≠ 0 a pour coordonnées

Démonstration
En utilisant la propriété de réduction en prenant M=0, on a

d’où

Les vecteurs



Démonstration
Le vecteur




d’où les coordonnées de G

Coordonnées du barycentre dans un repère
►Dans l'espace
Soit

l’espace de coordonnées respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB) dans le
repère

Alors, le barycentre G de (A, a) et de (B, b) avec a+b ≠ 0 a pour coordonnées

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