Applications du produit scalaire

Cours maths 1ère S

Applications du produit scalaire :
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Applications du produit scalaire
 
 
Le produit scalaire a de multiples applications.

En physique, par exemple, il est utilisé pour modéliser
le travail d’une force.

Dans ce module nous allons voir quelques unes de
ses applications, en particulier aux relations
métriques dans le triangle, aux équations de droites
et de cercles. 

 
 Applications aux problèmes métriques
 
 La première de ces applications est liée à la
médiane d’un triangle.

Le théorème de la médiane ou théorème
d’Apollonius est dû à Apollonius de Perge,
mathématicien grec
( 262 avant JC – 190 avant JC).

 
 






 
Applications aux problèmes métriques

 
 

Définition
 
 Soient A et B deux points du plan et I le milieu du
segment  [AB].

Alors, pour tout M du plan, on a


                 

 


                              
 


Remarque


Cette formule nous permet de calculer les longueurs

des trois médianes d’un triangle ABC connaissant les

longueurs de ses trois côtés.


          


          


Démonstration du théorème de la médiane

Pour tout M du plan, on a

                 


et

                


 
d'où

               


Or      est le milieu du segment [AB] d’où                       

et
              

d'où
                

on a donc



Formule d’Al-Kashi

Nous allons maintenant voir une autre application importante du produit scalaire : la formule d’Al-Kashi.

Cette formule est aussi parfois appelée
« formule des cosinus » ou « théorème de
Pythagore généralisé ».

Cette formule est due au mathématicien
perse Al-Kashi (né vers 1390 à Kashan en
Iran et mort en 1429 à Samarcande en
Ouzbékistan).

Son véritable nom était Ghiyath al’Din
Jamshid Mas’ud al’Kashi.





Les « Eléments » d’Euclide datant du    siècle avant
Jésus-Christ contenaient une approche purement
géométrique de la généralisation du théorème de Pythagore,
basée sur des raisonnements en termes de différences
d’aires.

Il a fallu attendre l’apparition de la trigonométrie Arabo-musulmane au Moyen-âge et les travaux d’Al-Kashi, mathématicien de l’école de Samarcande, pour obtenir la formule qui porte aujourd’hui son nom.


Notations


Avant d’énoncer la formule d’Al-Kashi, adoptons les

notations allégées suivantes (notations usuelles) :

Dans un triangle ABC, on note


a = BC

b  = AC

c  = AB









Théorème


Pour tout triangle ABC, on a    







Remarques

1) Les trois côtés et les trois angles d’un triangle jouant des rôles similaires, on a aussi :




2) La formule d’Al-Kashi permet dans bien des cas de

résoudre un triangle.

Résoudre un triangle, c’est déterminer ses trois côtés et ses trois angles.

La formule d’Al-Kashi permet, par exemple, de calculer un côté d’un triangle lorsque l’on connait l’angle opposé et les deux autres côtés.


Démonstration de la formule d’Al-Kashi

On a

          


Or      


D'où     
        

Application aux équations de droites
 

   
Rappel

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,   ,   ).

Equation cartésienne d’une droite
 
Toute droite du plan admet une équation de la forme 
               
Réciproquement, toute équation de la forme

 
avec a et b non simultanément nuls est une équation de droite.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.



Remarque

Il n’y a pas unicité de l’équation cartésienne d’une droite.


La droite D d’équation 


admet  aussi comme équation cartésienne

                      

        ou
                    
                      

        ou plus généralement

                        

 où    est un nombre réel non nul.  
                   


Droite définie par un point et un vecteur


Soit D une droite passant par un point A de coordonnées 

    et de vecteur directeur    de coordonnées (a, b).

Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées (x, y).

On a
            les vecteurs       et 
  sont colinéaires

                                 le tableau    est un tableau de proportionnalité. 


         


Droite définie par un point et un vecteur



              

On a donc le résultat suivant :

Théorème

 
Soient a et b deux nombres réels non tous les deux nuls.
Dans un repère quelconque,

 - Toute droite de vecteur directeur   admet pour équation cartésienne

                        

- Réciproquement, l’ensemble des points M(x , y) vérifiant    est une droite dont un vecteur directeur est                 


Vecteur normal à une droite

Définition

On appelle vecteur normal à une droite tout vecteur non nul orthogonal à un

vecteur directeur de la droite.

Le vecteur    est un vecteur normal à la droite D.

On a 


           



Théorème

Soient a et b deux nombres réels tels que


 Toute droite de vecteur normal     admet une équation de la forme

 Toute équation de la forme     est celle d’une droite de

vecteur normal 
  et de  vecteur directeur  


     



Démonstration


Soit 
  un vecteur normal à une droite D et soit  un point de D.

Un point    appartient à la droite D si et seulement si        , c’est-à-dire

Or  
           


                                         où                 



Si a et b sont deux nombres réels tels que , alors l’ensemble E des points
tels que est non vide.

En effet, il contient au moins un point A :

- le point    si

   obtenu en posant    dans l’équation, d’où   et
 - ou le point         si 
 

Si
, alors  . L’équation s’écrit d’où

Comme le point A appartient à l’ensemble E, on a


On en déduit  


ce qui peut s’écrire

c’est-à-dire 

L’ensemble E cherché est donc la droite passant par A et de vecteur normal



Exemple


Soient A(2,1), B(1,4) et C(5,2) trois points du plan et D la hauteur issue de A

dans le triangle ABC.

Un point 
appartient à la hauteur D si et seulement si   .

Calculons les coordonnées des vecteurs    et on  a  
  et 

On a donc    
                     


La hauteur D a donc pour équation cartésienne 


          


Application aux équations de cercle

Rappel


Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,    ,    ).

Le cercle      de centre     de rayon r, est l’ensemble des points M du plan tels que


Propriété


Soit 
   le cercle de centre   et de rayon r.

Un point  
appartient au cercle si et

seulement si

L’équation
  est une équation du cercle   .


Démonstration

Un point 
  appartient au cercle si et seulement si on a   , c’est-à-dire  

ce qui s’écrit
                       


 car le vecteur    a pour coordonnées 


Exemples

• Le cercle trigonométrique a pour équation


        







• Le cercle de centre      et  de rayon 2 à pour équation 







Théroème


Soient A et B deux points du plan.

Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que



Démonstration


Un point M appartient au cercle
   de diamètre  [AB] si et seulement si
M = A ou M = B ou le triangle AMB est rectangle  en M.

Or le triangle AMB est rectangle en M si c’est-à-dire si  .

De plus M = A s’écrit    et M = B s’écrit . On a donc
  


 
         Cours complémentaires :

► Produit scalaire
► Projection orthogonale
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