Applications du barycentre

Cours maths 1ère S

Applications du barycentre :
Applications du barycentre
► Sommaire cours maths 1ère S

      A voir aussi :


► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
► menu 600 VIDEOS       
 
 
Barycentre : applications

 
 
La notion de barycentre a de nombreuses applications en mathématiques, en physique et en mécanique.

 Nous verrons quelques unes de ces applications et en particulier le centre d’inertie d’un système.

La notion de centre d’inertie d’un système  fut dégagée par Christiaan Huygens
( La Haye 1629 – La Haye 1695 ) dans ses travaux sur l’étude des problèmes de chocs.  

 











Barycentre : applications

 
 C’est vers 1654 qu’il énonce le principe de mécanique :

« Le barycentre d’un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »
 
 










 
Rappel : définition du barycentre

Théorème et définition
 
 Soient ( A , a ) et ( B , b ) deux points pondérés tels
 
que   .

Alors, il existe un unique point G tel que 


Ce point G est appelé barycentre des points pondérés ( A , a ) et ( B ,b ). 
 
On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.

 
Remarques

1) Si  a + b = 0, on ne peut pas définir le barycentre

 de (A , a) et (B , b).

2) De même, si  a  + b + c = 0, on ne peut pas

définir le barycentre de (A , a) , (B , b) et (C , c).
 
 Nous allons voir maintenant comment utiliser le
barycentre pour montrer que :
 
- des points sont alignés
- des droites sont parallèles,
- des droites sont concourantes.


Barycentre et alignement

Propriété

Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G de (A , a) et de (B , b) avec 
  à la droite (AB).

Voyons sur un exemple comment cette propriété permet de montrer que des points sont alignés.

Exemple

Soient ABC un triangle, P le symétrique de B par rapport

à C, Q le point défini par   et R le milieu de [AB].

Montrer que les points P, Q et R sont alignés


Pour montrer que les points P ,Q et R sont alignés, il suffit de montrer, par exemple, que Q est le barycentre de P et de R avec des coefficients à déterminer.




P est le symétrique de B par rapport à C donc on a
ce qui peut s’écrire

Le point P est donc le barycentre de (B , 1) et (C , -2).

On en déduit, d’après la propriété de réduction du barycentre



c’est-à-dire
 
ou encore

Par ailleurs, R est le milieu du segment [AB] donc .

et, d’après la propriété de réduction du barycentre :


On a donc en additionnant membre à membre les deux égalités :

                    

                                                             


Or ce qui équivaut à

d’où
 
(Q est donc le barycentre de (A , 1) et (C , 2)).
 
On en déduit  
       

Ce qui signifie que Q est le barycentre de (P , 1) et
(R , 2).
 
Les points P, Q et R sont donc alignés.


Barycentre et parallélisme

Soit ABC un triangle quelconque.

Soit G le barycentre de (A , 1) , (B , 2) et (C , -2).

Montrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Pour montrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles, montrons que les vecteurs     et   sont colinéaires.


Puisque G est le barycentre de (A , 1) , (B , 2) et (C , -2),

on a

On en déduit

Les deux vecteurs  
   et    étant colinéaires, les deux droites (AG) et (BC) sont parallèles.


Remarque

Soit H le barycentre de (A , 1) et (B , 2).

Par associativité du barycentre G est aussi le barycentre de (H , 3) et (C , -2)

donc G se trouve sur

la droite (CH).

On en déduit donc une construction de G comme  intersection de la parallèle

à (BC) qui passe par A.






Barycentre et point de concours
 
Soit ABC un triangle quelconque.

Soient K le milieu de [AC] et I et J les points tels que


                         et 


Montrons que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont concourantes.






Soit G le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2).    

Comme    , on en déduit

               

d’où   c’est-à-dire

Le point I est donc le barycentre de (A , 2) et (B , 1). Puisque G est le barycentre de (A , 2) , (B , 1) et (C , 2) et I est le barycentre de (A , 2) et (B,1), par associativité du barycentre, on en déduit que G est le barycentre de (I, 3) et (C , 2). Les points C, I et G sont donc alignés. De même, comme K est le milieu de [AC], K est le barycentre de (A , 1) et (C , 1), mais aussi le barycentre de (A , 2) et (C , 2) (par homogénéité du barycentre). Puisque G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (K , 4) et
(B , 1). Les points B, K et G sont donc alignés.
Le point G appartient donc aux deux droites (CI) et (BK).

Montrons enfin que le point G appartient aussi à la droite (AJ).

On a 

d’où  

On en déduit

c’est-à-dire

Le point J est donc le barycentre de (B , 1) et (C , 2).
Comme G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (A , 2) et (J,3).

Les points A, J et G sont donc alignés.

Le point G appartient donc aux trois droites (AJ), (BK) et (CI), ce qui prouve que ces trois droites sont concourantes.



Barycentre et statistique

                                                                                                       
La notion de moyenne avec ou sans coefficients peut être interprétée en termes de barycentre.



Exemple

Patrick a eu 11 à son premier devoir de maths et
15 au suivant.

Plaçons sur un axe (O , ) le point A d’abscisse 11 et le point B d’abscisse 15.




Quelle est la moyenne de Patrick en maths ?

Soit m la moyenne de Patrick
On a
                   

 Soit M le point d’abscisse m=13.
Que représente le point M pour A et B ?
Le point M est le milieu de [AB], c’est-à-dire le barycentre de (A,1) et (B,1).




Supposons maintenant que les notes soient affectées de coefficients, par exemple, la note du premier devoir affectée du coefficient 1 et la note du deuxième affectée du coefficient 3.
Soit m’ la moyenne de Patrick (avec les coefficients)
On a
              

Soit M’ le point d’abscisse 14.
Le point M’ est le barycentre des points (A,1) et (B,3).
En effet , on a
 
 ou encore 


Centre d’inertie d’une plaque homogène


Soit P une plaque homogène.

Le centre d’inertie I de la plaque est l’isobarycentre de tous les points de la plaque.

C’est donc un barycentre d’une infinité de points !




Il s’agit d’une notion difficile à définir mathématiquement mais il est souvent facile de déterminer le centre d’inertie d’une plaque en utilisant les propriétés suivantes.

• Le centre d’inertie d’une tige est le milieu de cette tige.

• Le centre d’inertie d’un triangle est l’isobarycentre de

 ses trois sommets.


Remarque

Attention, cette propriété n’est pas vraie en général pour les quadrilatères.

Le centre d’inertie d’un quadrilatère ABCD est en général différent de l’isobarycentre des sommets
A, B, C et D.


Propriétés du centre d’inertie

Propriétés de symétrie

• Si la plaque admet un centre de symétrie,  alors son centre d’inertie est le centre de symétrie.

• Si la plaque admet un axe de symétrie, alors son centre d’inertie se trouve sur cet axe.

Propriété de juxtaposition

Si une plaque   d’aire   a  pour centre d’inertie     et une plaque   d’aire   a  pour centre d’inertie    , alors la plaque    admet pour centre d’inertie le barycentre   de      et       


Remarque

Comme les plaques sont homogènes, leurs aires 
  et    sont proportionnelles à leurs
masses     et  .

D’après l’homogénéité du barycentre, on en déduit que 
  est aussi  le barycentre de      et             


Application de la propriété de juxtaposition


► Centre d’inertie d’une plaque homogène

Soit P une plaque homogène de centre d’inertie et de masse  .

Dans la plaque P on découpe une plaque Q de centre  d’inertie  et de masse  .

Il reste une plaque R de centre d’inertie    et de masse .      

           



Propriété

Le centre d’inertie de la plaque R obtenue en découpant la plaque Q de masse 
  dans la plaque P de masse    est le barycentre des points     et  .        


 
 
         Cours complémentaires :

► Barycentre de deux points
► Barycentre de trois points
► Sommaire cours maths 1ère S

           A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions