Applications du barycentre
Cours maths 1ère S
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Barycentre : applications
La notion de barycentre a de nombreuses applications en mathématiques, en physique et en mécanique.
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Nous verrons quelques unes de ces applications et en particulier le centre d’inertie d’un système.
La notion de centre d’inertie d’un système fut dégagée par Christiaan Huygens
( La Haye 1629 – La Haye 1695 ) dans ses travaux sur l’étude des problèmes de chocs.
Barycentre : applications
C’est vers 1654 qu’il énonce le principe de mécanique :
« Le barycentre d’un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »
Rappel : définition du barycentre
Théorème et définition
Soient ( A , a ) et ( B , b ) deux points pondérés tels
que
.Alors, il existe un unique point G tel que
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Ce point G est appelé barycentre des points pondérés ( A , a ) et ( B ,b ).
On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.
Remarques
1) Si a + b = 0, on ne peut pas définir le barycentre
de (A , a) et (B , b).
2) De même, si a + b + c = 0, on ne peut pas
définir le barycentre de (A , a) , (B , b) et (C , c).
Nous allons voir maintenant comment utiliser le
barycentre pour montrer que :
- des points sont alignés
- des droites sont parallèles,
- des droites sont concourantes.
Barycentre et alignement
Propriété
Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G de (A , a) et de (B , b) avec
à la droite (AB). Voyons sur un exemple comment cette propriété permet de montrer que des points sont alignés.
Exemple
Soient ABC un triangle, P le symétrique de B par rapport
à C, Q le point défini par
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et R le milieu de [AB].Montrer que les points P, Q et R sont alignés
Pour montrer que les points P ,Q et R sont alignés, il suffit de montrer, par exemple, que Q est le barycentre de P et de R avec des coefficients à déterminer.
P est le symétrique de B par rapport à C donc on a
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ce qui peut s’écrire
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Le point P est donc le barycentre de (B , 1) et (C , -2).
On en déduit, d’après la propriété de réduction du barycentre
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c’est-à-dire
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ou encore
Par ailleurs, R est le milieu du segment [AB] donc
.et, d’après la propriété de réduction du barycentre :
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On a donc en additionnant membre à membre les deux égalités :
Or
ce qui équivaut à 
d’où
(Q est donc le barycentre de (A , 1) et (C , 2)).
On en déduit
Ce qui signifie que Q est le barycentre de (P , 1) et
(R , 2).
Les points P, Q et R sont donc alignés.
Soit ABC un triangle quelconque.
Soit G le barycentre de (A , 1) , (B , 2) et (C , -2).
Montrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.
Pour montrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles, montrons que les vecteurs
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et .jpg){kind=small}
sont colinéaires. Puisque G est le barycentre de (A , 1) , (B , 2) et (C , -2),
on a
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On en déduit
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Les deux vecteurs
et .jpg){kind=small}
étant colinéaires, les deux droites (AG) et (BC) sont parallèles.Remarque
Soit H le barycentre de (A , 1) et (B , 2).
Par associativité du barycentre G est aussi le barycentre de (H , 3) et (C , -2)
donc G se trouve sur
la droite (CH).
On en déduit donc une construction de G comme intersection de la parallèle
à (BC) qui passe par A.
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Barycentre et point de concours
Soit ABC un triangle quelconque.
Soient K le milieu de [AC] et I et J les points tels que
et 
Montrons que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont concourantes.
Soit G le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2).
Comme
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, on en déduit.jpg){kind=small}
d’où
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c’est-à-dire .jpg){kind=small}
Le point I est donc le barycentre de (A , 2) et (B , 1). Puisque G est le barycentre de (A , 2) , (B , 1) et (C , 2) et I est le barycentre de (A , 2) et (B,1), par associativité du barycentre, on en déduit que G est le barycentre de (I, 3) et (C , 2). Les points C, I et G sont donc alignés. De même, comme K est le milieu de [AC], K est le barycentre de (A , 1) et (C , 1), mais aussi le barycentre de (A , 2) et (C , 2) (par homogénéité du barycentre). Puisque G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (K , 4) et
(B , 1). Les points B, K et G sont donc alignés.
Le point G appartient donc aux deux droites (CI) et (BK).
Montrons enfin que le point G appartient aussi à la droite (AJ).
On a
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d’où
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On en déduit
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c’est-à-dire
Le point J est donc le barycentre de (B , 1) et (C , 2).
Comme G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (A , 2) et (J,3).
Les points A, J et G sont donc alignés.
Le point G appartient donc aux trois droites (AJ), (BK) et (CI), ce qui prouve que ces trois droites sont concourantes.
La notion de moyenne avec ou sans coefficients peut être interprétée en termes de barycentre.
Exemple
Patrick a eu 11 à son premier devoir de maths et
15 au suivant.
Plaçons sur un axe (O ,
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) le point A d’abscisse 11 et le point B d’abscisse 15. .jpg)
Quelle est la moyenne de Patrick en maths ?
Soit m la moyenne de Patrick
On a
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Soit M le point d’abscisse m=13.
Que représente le point M pour A et B ?
Le point M est le milieu de [AB], c’est-à-dire le barycentre de (A,1) et (B,1).
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Supposons maintenant que les notes soient affectées de coefficients, par exemple, la note du premier devoir affectée du coefficient 1 et la note du deuxième affectée du coefficient 3.
Soit m’ la moyenne de Patrick (avec les coefficients)
On a
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Soit M’ le point d’abscisse 14.
Le point M’ est le barycentre des points (A,1) et (B,3).
En effet , on a
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ou encore
Centre d’inertie d’une plaque homogène
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Soit P une plaque homogène.
Le centre d’inertie I de la plaque est l’isobarycentre de tous les points de la plaque.
C’est donc un barycentre d’une infinité de points !
Il s’agit d’une notion difficile à définir mathématiquement mais il est souvent facile de déterminer le centre d’inertie d’une plaque en utilisant les propriétés suivantes.
• Le centre d’inertie d’une tige est le milieu de cette tige.
• Le centre d’inertie d’un triangle est l’isobarycentre de
ses trois sommets.
Remarque
Attention, cette propriété n’est pas vraie en général pour les quadrilatères.
Le centre d’inertie d’un quadrilatère ABCD est en général différent de l’isobarycentre des sommets
A, B, C et D.
Propriétés du centre d’inertie
Propriétés de symétrie
• Si la plaque admet un centre de symétrie, alors son centre d’inertie est le centre de symétrie.
• Si la plaque admet un axe de symétrie, alors son centre d’inertie se trouve sur cet axe.
Propriété de juxtaposition
Si une plaque
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d’aire .jpg){kind=small}
a pour centre d’inertie .jpg){kind=small}
et une plaque .jpg){kind=small}
d’aire 
a pour centre d’inertie 
, alors la plaque 
admet pour centre d’inertie le barycentre 
de 
et 
Remarque
Comme les plaques sont homogènes, leurs aires
et sont proportionnelles à leursmasses
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et .jpg){kind=small}
. D’après l’homogénéité du barycentre, on en déduit que
est aussi le barycentre de 
et 
Application de la propriété de juxtaposition
► Centre d’inertie d’une plaque homogène
Soit P une plaque homogène de centre d’inertie et de masse
.Dans la plaque P on découpe une plaque Q de centre d’inertie
et de masse 
.Il reste une plaque R de centre d’inertie
et de masse 
. 
Propriété
Le centre d’inertie de la plaque R obtenue en découpant la plaque Q de masse
dans la plaque P de masse 
est le barycentre des points 
et 
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