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Cours maths 1ère S

Applications du barycentre

Applications du barycentre

Barycentre : applications

La notion de barycentre a de nombreuses applications en mathématiques, en physique et en mécanique.

Nous verrons quelques unes de ces applications et en particulier le centre d’inertie d’un système.

La notion de centre d’inertie d’un système fut dégagée par Christiaan Huygens
( La Haye 1629 – La Haye 1695 ) dans ses travaux sur l’étude des problèmes de chocs.

 

Barycentre : applications

C’est vers 1654 qu’il énonce le principe de mécanique :

« Le barycentre d’un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre. »

Rappel : définition du barycentre

Théorème et définition

Soient ( A , a ) et ( B , b ) deux points pondérés tels que .

Alors, il existe un unique point G tel que

Ce point G est appelé barycentre des points pondérés ( A , a ) et ( B ,b ).

On dit aussi que G est le barycentre des points A et B affectés des coefficients a et b.

Remarques

1) Si a + b = 0, on ne peut pas définir le barycentre de (A , a) et (B , b).

2) De même, si a + b + c = 0, on ne peut pas définir le barycentre de (A , a) , (B , b) et (C , c).

Nous allons voir maintenant comment utiliser le barycentre pour montrer que :

- des points sont alignés
- des droites sont parallèles,
- des droites sont concourantes.

 

Barycentre et alignement

Propriété

Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G de (A , a) et de (B , b) avec à la droite (AB).

Voyons sur un exemple comment cette propriété permet de montrer que des points sont alignés.

Exemple

Soient ABC un triangle, P le symétrique de B par rapport

à C, Q le point défini par et R le milieu de [AB].

Montrer que les points P, Q et R sont alignés

Pour montrer que les points P ,Q et R sont alignés, il suffit de montrer, par exemple, que Q est le barycentre de P et de R avec des coefficients à déterminer.

P est le symétrique de B par rapport à C donc on a

ce qui peut s’écrire

Le point P est donc le barycentre de (B , 1) et (C , -2).

On en déduit, d’après la propriété de réduction du barycentre

c’est-à-dire

ou encore

Par ailleurs, R est le milieu du segment [AB] donc .

et, d’après la propriété de réduction du barycentre :

On a donc en additionnant membre à membre les deux égalités :

Or ce qui équivaut à

d’où

(Q est donc le barycentre de (A , 1) et (C , 2)).

On en déduit

Ce qui signifie que Q est le barycentre de (P , 1) et (R , 2).

Les points P, Q et R sont donc alignés.

 

Barycentre et parallélisme

Soit ABC un triangle quelconque.

Soit G le barycentre de (A , 1) , (B , 2) et (C , -2).

Montrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Pour montrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles, montrons que les vecteurs et sont colinéaires.

Puisque G est le barycentre de (A , 1) , (B , 2) et (C , -2),

on a


On en déduit

Les deux vecteurs et étant colinéaires, les deux droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Remarque

Soit H le barycentre de (A , 1) et (B , 2).

Par associativité du barycentre G est aussi le barycentre de (H , 3) et (C , -2)

donc G se trouve sur la droite (CH).

On en déduit donc une construction de G comme intersection de la parallèle à (BC) qui passe par A.

 

Barycentre et point de concours

Soit ABC un triangle quelconque.

Soient K le milieu de [AC] et I et J les points tels que

et

Montrons que les droites (AJ), (BK) et (CI) sont concourantes.

Soit G le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2).

Comme , on en déduit

d’où c’est-à-dire

Le point I est donc le barycentre de (A , 2) et (B , 1).
Puisque G est le barycentre de (A , 2) , (B , 1) et (C , 2) et I est le barycentre de (A , 2) et (B,1), par associativité du barycentre, on en déduit que G est le barycentre de (I, 3) et (C , 2).
Les points C, I et G sont donc alignés.
De même, comme K est le milieu de [AC], K est le barycentre de (A , 1) et (C , 1), mais aussi le barycentre de (A , 2) et (C , 2) (par homogénéité du barycentre).
Puisque G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (K , 4) et (B , 1).
Les points B, K et G sont donc alignés.
Le point G appartient donc aux deux droites (CI) et (BK).

Montrons enfin que le point G appartient aussi à la droite (AJ).

On a

d’où

On en déduit

c’est-à-dire

Le point J est donc le barycentre de (B , 1) et (C , 2).
Comme G est le barycentre de (A , 2), (B , 1) et (C , 2), on en déduit que G est le barycentre de (A , 2) et (J,3).

Les points A, J et G sont donc alignés.

Le point G appartient donc aux trois droites (AJ), (BK) et (CI), ce qui prouve que ces trois droites sont concourantes.

 

Barycentre et statistique

La notion de moyenne avec ou sans coefficients peut être interprétée en termes de barycentre.

Exemple

Patrick a eu 11 à son premier devoir de maths et 15 au suivant.

Plaçons sur un axe (O , ) le point A d’abscisse 11 et le point B d’abscisse 15.

Quelle est la moyenne de Patrick en maths ?

Soit m la moyenne de Patrick
On a

Soit M le point d’abscisse m=13.
Que représente le point M pour A et B ?
Le point M est le milieu de [AB], c’est-à-dire le barycentre de (A,1) et (B,1).

Supposons maintenant que les notes soient affectées de coefficients, par exemple, la note du premier devoir affectée du coefficient 1 et la note du deuxième affectée du coefficient 3.
Soit m’ la moyenne de Patrick (avec les coefficients)
On a

Soit M’ le point d’abscisse 14.
Le point M’ est le barycentre des points (A,1) et (B,3).
En effet , on a

ou encore

 

Centre d’inertie d’une plaque homogène

Soit P une plaque homogène.

Le centre d’inertie I de la plaque est l’isobarycentre de tous les points de la plaque.

C’est donc un barycentre d’une infinité de points !

Il s’agit d’une notion difficile à définir mathématiquement mais il est souvent facile de déterminer le centre d’inertie d’une plaque en utilisant les propriétés suivantes.

• Le centre d’inertie d’une tige est le milieu de cette tige.

• Le centre d’inertie d’un triangle est l’isobarycentre de ses trois sommets.

Remarque

Attention, cette propriété n’est pas vraie en général pour les quadrilatères.

Le centre d’inertie d’un quadrilatère ABCD est en général différent de l’isobarycentre des sommets A, B, C et D.

 

Propriétés du centre d’inertie

Propriétés de symétrie

• Si la plaque admet un centre de symétrie, alors son centre d’inertie est le centre de symétrie.

• Si la plaque admet un axe de symétrie, alors son centre d’inertie se trouve sur cet axe.

 

Propriété de juxtaposition

Si une plaque d’aire a pour centre d’inertie et une plaque d’aire a pour centre d’inertie , alors la plaque admet pour centre d’inertie le barycentre de et

Remarque

Comme les plaques sont homogènes, leurs aires et sont proportionnelles à leurs masses et .

D’après l’homogénéité du barycentre, on en déduit que est aussi le barycentre de et

Application de la propriété de juxtaposition

► Centre d’inertie d’une plaque homogène

Soit P une plaque homogène de centre d’inertie et de masse .

Dans la plaque P on découpe une plaque Q de centre d’inertie et de masse .

Il reste une plaque R de centre d’inertie et de masse .

Propriété

Le centre d’inertie de la plaque R obtenue en découpant la plaque Q de masse dans la plaque P de masse est le barycentre des points et .