Angles orientés

Cours maths 1ère S

Angles orientés :
Angles orientés
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Cercle trigonométrique

 
 
Dans tout ce chapitre le plan est rapporté à un
repère orthonormé (O,  , ).

 
 
Définition
 
 Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de rayon 1, orienté dans le sens direct (appelé sens positif ou sens trigonométrique) qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles d’une montre.
    

 
Le sens de rotation des aiguilles d’une montre est appelé sens indirect ou sens négatif.

 
Repérage sur le cercle

 
 Pour tout nombre réel t, on appelle image sur le cercle C, le point M obtenu en se déplaçant
d’une longueur | t | sur C à partir de    :
- dans le sens direct si t est positif,
- dans le sens indirect si t est négatif.

                        
 
 
Propriété
 
 
Tout point du cercle trigonométrique est l’image d’une infinité de nombres réels.
Si t est l’un d’entre eux, les autres nombres réels sont de la forme    où     

 Associer un point du cercle à un nombre réel, c’est-à-dire à un point de la droite, revient à enrouler la droite sur le cercle.
Si t et t’ sont deux nombres réels qui ont la même image sur le cercle, alors l’enroulement de la droite sur le cercle de t à t’ correspond à un nombre entier k de tours du cercle.
Le périmètre du cercle étant  , k tours du cercle correspondent     à       et  avec k positif si pour aller de t à t’ on a enroulé la droite dans le sens positif et k négatif si on a enroulé la droite dans le sens négatif.


 
Exemple

Le point K est l’image de    mais aussi de de

                            
                                              
  


Angles orientés et mesures

Soient      et        deux vecteurs non nuls M et N les points tels que
              
                                    et
M’ et N’ les points d’intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique C.



Définition

L’angle orienté (
   ,   ) est l’angle de la rotation r de centre O qui transforme M’ en N’.
 Soit      l’image du point     par cette rotation. Les mesures de l’angle orienté (
   ,    ) sont les nombres réels t dont   est l’image  sur C.
On admet que cette définition est indépendante du repère choisi.


               



Remarque

désigne aussi bien l’angle orienté des deux vecteurs 
     et       que l’une de ses mesures.

Attention

A ne pas confondre un angle géométrique et un angle orienté.

Angles géométriques :





Angles orientés :









Un angle géométrique est toujours positif.
Un angle orienté peut être négatif. Cela dépend de l’orientation choisie.

Mesure principale d’un angle orienté

Définition

Parmi toutes les mesures d’un angle orienté    , une seule appartient à l’intervalle   . On l’appelle la mesure principale de l’angle orienté
.

Soit       la mesure principale de l’angle
.
Alors, les autres mesures de l’angle  sont les nombres réels      où 
On note
                 
                                                  
ou      

On a           (en radians)

où    désigne l’angle géométrique de sommet O.      
                                                                     


Exemple


►La mesure principale de l’angle de          est  

En effet, on a    donc          avec 
  
 ►La mesure principale de l’angle    est 

En effet, on a :   donc 

 avec                        



Propriétés des angles orientés

Soient  
    et    deux vecteurs non nuls

     ►
     ►
    ►
    ►

          
                       



– Si       et    sont deux nombres réels

– Si 
    et    sont de même signe :

     




         
ou           


Si 
     et        sont de signes contraires




    ou







►Relation de Chasles


















Vecteurs colinéaires et angles orientés



Soient  
   et     deux vecteurs non nuls

 
    et      sont colinéaires et de même sens si et seulement si  

 
   et  sont colinéaires et de sens contraire si et seulement si                         

  
    et        sont colinéaires si et seulement si

c’est-à-dire     avec  
     



                                         



   et      colinéaires et de même sens. 


                         


 
  et      colinéaires et de sens contraires.  






         Cours complémentaires :

► Trigonométrie
► Repérage polaire
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