Aire et volume d'un solide
Cours maths 5ème
Aire et volume d'un solide : Ce chapitre va tout d'abord montrer comment calculer l’aire latérale ou totale de solides simples (cube, pavé droit) ou plus complexes : autres prismes ou cylindre. La notion de volume de ces solides sera ensuite abordée à la fin. |
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Aire totale du cube
Le cube d’arête « c »
a pour développement :
Son aire totale est donc la somme des aires des 6 carrés formant ses faces, soit :
Aire = 6 x aire d’une face = 6 x c² |
Volume du cube
Le cube d’arête « c »
a pour volume :
| Volume = arête x arête x arête = c3 |
Exemple :
Un cube a ses arêtes qui mesurent 4 cm. Il a pour volume :
| V = 43 |
| = 4 x 4 x 4 |
| = 64 cm3 |
Aire du pavé droit
Voici un pavé droit :
- il a pour longueur : L
- il a pour largeur : l
- il a pour hauteur : h
il a pour développement :
L’aire de chaque base est :
B = l x L = lL |
Les 4 autres rectangles représentent la surface latérale du pavé droit.
L’aire latérale de ce pavé droit est donc :
- A = 2xlxh + 2xLxh
- A = h (2 l + 2 L)
Avec (2 l + 2 L) qui représente le périmètre de la base du pavé droit.
Dans un pavé droit, l’aire latérale est égale à :
- Périmètre de base x hauteur
L’aire totale de ce pavé droit est égale à :
- Aire latérale + 2 x aire d’une base
Aire du pavé droit
Voici un pavé droit :
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il a pour développement :
L’aire de chaque base est :
- B = 10 x 6 = 60 cm²
Périmètre de base :
- P = 2x10 + 2x6 = 32 cm
Aire latérale :
- A = 5 x 32 = 160 cm²
L’aire totale est donc égale à :
| 160 + 2 x 60 |
| = 160 + 120 |
| = 280 cm² |
Volume du pavé droit
Voici un pavé droit :
- il a pour longueur : L
- il a pour largeur : l
- il a pour hauteur : h
Son volume est égal au produit de ses 3 dimensions :
| Volume = Longueur x largeur x hauteur |
Volume du pavé droit
Voici un pavé droit :
il a pour volume :
- V = Longueur x largeur x hauteur
- V = 10 x 6 x 5
- V = 300 cm
Prismes droits
On admettra que pour un prisme droit :- Aire latérale = Périmètre de base x hauteur
- Aire totale = Aire latérale + 2x Aire d’une base
- Volume = Aire de base x hauteur
Aire et volume d'un prisme
Voici un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.
L’aire de sa base est :- B = QR x RS / 2
= 3 x 4 / 2
= 6 cm²
Le périmètre de la base est :
- P = 3 + 4 + 5
= 12 cm
L’aire latérale est :
- A = 12 x 15
= 180 cm²
L’aire totale est :
- T = 180 + 2 x 6 T
= 192 cm²
Le volume est :
- V = B x hauteur
= 6 x 15
= 90 cm3
Volume du cylindre de révolution
Voici un cylindre de révolution :
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il a pour rayon de base : r
il a pour hauteur : h
On admet que son volume est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur :
Volume = π r² h |
Son développement est composé d'un rectangle...
...et de deux disques.
Le cylindre de révolution a pour rayon r et hauteur h.
Il a pour développement la figure ci-dessous :
Le rectangle a pour dimensions :
1/ la hauteur h du cylindre,
2/ le périmètre du disque de base : 2πr
Le rectangle a pour aire : 2πrh
Les deux disques ont chacun pour aire :
π r²
L’aire totale est donc : 2πrh + 2πr²
Le cylindre de révolution a pour rayon r et hauteur h.
Aire de base :
π r²
Aire latérale cylindrique :
2πrh
Cylindre de révolution
Le cylindre de révolution ci-contre a :
Pour rayon de base : 10 unités graphiques
Pour hauteur : 15 unités graphiques
Aire de base
= π r²
= 3,14 x 10 x 10
= 314 unités d’aire
Aire latérale
= 2π r h
= 2 x 3,14 x 10 x 15
= 942 unités d’aire
Volume
= π r² h
= 3,14 x 10 x 10 x 15
= 4 710 unités de volume
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