Vecteurs colinéaires
Cours maths seconde
Vecteurs colinéaires : Repérer des points d’un plan, des cases d’un réseau carré ou rectangulaire. Utiliser le calcul vectoriel pour faciliter le repérage des points ou justifier le calcul de coordonnées. Définition des vecteurs colinéaires. Condition analytique de colinéarité. Applications au parallélisme ou à l’alignement. |
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Définition
Deux vecteurs non nuls
et 
sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que 
.Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre.
Remarques : Puisque le vecteur
est non nul, alors le nombre réel k est forcément différent de 0. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Illustration
Exemples
Si
alors et sont colinéaires- En effet,
= 2 puisque : 4 = 2 x 2 et -6 = 2x(-3)Si
alors et ne sont pas colinéaires- En effet,
n'est pas un multiple de puisque : 12 = 4 x 3 mais :(-2) x 4 = -8 et non pas -5
Dans un repère quelconque, les vecteurs
sont colinéaires si et seulement si :
Avantage : dés que l’on se situe dans un repère, cette formule est bien pratique.
Inconvénient : Il faut, avant de pouvoir appliquer cette formule, calculer les coordonnées des deux vecteurs.
Exemples
- Si
alors : et sont colinéaires car : 
- Si
alors : et ne sont pas colinéaires car : 
Application n°1 de la colinéarité
On peut utiliser la colinéarité pour démontrer que des droites sont parallèles en utilisant la propriété suivante :
Les droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs .png)
et .png)
sont colinéaires.
et sont colinéaires. 
(AB)//(MN) ⇔
.png){kind=small}
et 
colinéairesApplication n°2 de la colinéarité
On peut utiliser la colinéarité pour démontrer que des points sont alignés en utilisant la propriété suivante :
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et .png)
sont colinéaires.
et sont colinéaires. .png)
A, B et C alignés ⇔
et .png){kind=small}
colinéairesExemples
- Si A(-1 ; -5) ; B(0 ; -3) et C(2 ; 1) alors :
Donc A, B et C sont alignés.
- Si M(1 ; 1) ; N(0 ; -2) et P(-3 ; 2) alors :
.png)
Donc M, N et P ne sont pas alignés.
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