Cours maths seconde

Vecteurs colinéaires

Repérer des points d’un plan, des cases d’un réseau carré ou rectangulaire.
Utiliser le calcul vectoriel pour faciliter le repérage des points ou justifier le calcul de coordonnées.
Définition des vecteurs colinéaires.
Condition analytique de colinéarité.
Applications au parallélisme ou à l’alignement.

Définition

Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que .
Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre.

Remarque

Puisque le vecteur est non nul, alors le nombre réel k est forcément différent de 0.
Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

Illustration

Exemples

Si alors et sont colinéaires

- En effet, = 2 puisque : 4 = 2 x 2 et -6 = 2x(-3)

Si alors et ne sont pas colinéaires

- En effet, n'est pas un multiple de puisque : 12 = 4 x 3 mais :
(-2) x 4 = -8 et non pas -5

   

 

Condition analytique de colinéarité

Dans un repère quelconque, les vecteurs sont colinéaires si et seulement si :

Avantage : dès que l’on se situe dans un repère, cette formule est bien pratique.
Inconvénient : Il faut, avant de pouvoir appliquer cette formule, calculer les coordonnées des deux vecteurs.

Exemples

Si alors :

et sont colinéaires car :

Si alors :

et sont colinéaires car :

 

Application n°1 de la colinéarité

On peut utiliser la colinéarité pour démontrer que des droites sont parallèles en utilisant la propriété suivante :

Les droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

(AB)//(MN) ⇔ et colinéaires

 

Application n°2 de la colinéarité

On peut utiliser la colinéarité pour démontrer que des points sont alignés en utilisant la propriété suivante :

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

A, B et C alignés ⇔ et colinéaires

Exemples

- Si A(-1 ; -5) ; B(0 ; -3) et C(2 ; 1) alors :



Donc A, B et C sont alignés.


- Si M(1 ; 1) ; N(0 ; -2) et P(-3 ; 2) alors :



Donc M, N et P ne sont pas alignés.