Trigonométrie
Cours maths 1ère S
Trigonométrie : Angles orientés |
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Un peu d’histoire…
La trigonométrie (qui vient du grec trigonos « triangulaire » et de metron « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des rapports de distance et d’angles dans les triangles et de fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Egypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus, il y a plus de 4 000 ans.
La première utilisation du sinus apparaît dans les sulbasutras en Inde entre 800 et 500 avant Jésus Christ. Les sulbasutras sont des textes indiens qui contiennent l’ensemble des connaissances requises pour ériger des temples et des autels.
Les fonctions trigonométriques furent étudiées plus tard par le mathématicien
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grec Hipparque de Nicée (190 av. J.C. – 120 av. J.C.) qui construisit les premières tables trigonométriques.Les travaux d’Hipparque furent poursuivis en Egypte par Ptolémée
(90 – 168) qui développa des formules d’addition et de soustraction.
Lignes trigonométriques
Quelques points importants à retenir :
Définition
Soit
un repère orthonormé direct.Soient 
et 
deux vecteurs non nuls, t une mesure en radians de l’angle 
et M le point image de t sur le cercle C.
Autrement dit on a
Premières propriétés
Propriété
Pour tout nombre réel t et tout nombre entier relatif k on a
•
•
•
•
•
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période
Remarque
Les mesures
d’un angle orienté ont toutes le même cosinus et le même sinus. Le cosinus et le sinus d’un angle orienté ne dépendent donc pas de la mesure choisie.
Tangente
Définition
Soit t un nombre réel.
Si
où k un nombre entier relatif, la tangente de t est le nombre réel
Valeurs particulières
Les valeurs particulières suivantes doivent être connues :
Important
Lignes trigonométriques des angles associés
Pour tout nombre réel t, on a les égalités suivantes :
Angles associés
et 
. 
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Angles associés
et 
.
Formules d’addition
Point cléf
Pour tous nombres réels a et b on a
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a-b) = sin a cos b – cos a sin b
Formules d’addition : démonstration
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
Soient a et b deux nombres réels .
Soit a le point du cercle trigonométrique correspondant à a
Soit b le point du cercle trigonométrique correspondant à a+b
Soit c le point du cercle trigonométrique correspondant à
Le point t A a pour coordonnées (cos a , sin a)
Le point C a pour coordonnées
On a donc
Dans le repère orthonormé
le point B a pour coordonnées (cos b ,sin b )D’où
On a donc
Par ailleurs , dans le repère
, le point B a pour coordonnées (cos(a+b), sin (a+b))D’où
On en déduit
Ces égalités était valables pour tous nombre réels a et b, en remplaçant b par –b, on obtient
c’est-à-dire
et
c’est-à-dire
Formules de duplication
Pour tout nombre réel a on a
cos (2a) = cos2 a – sin2 a
= 2cos2 a - 1
= 1 – 2sin2 a
sin (2a) = 2sin a cos a
Formules de duplication : démonstration
On a, pour tous a et b réels,
d’où en posant b=a
De plus,
d’où
Et
De même
d’où, en posant b=a
Formules de linéarisation
Des formules de duplication, on déduit les formules de linéarisation :
Equations trigonométriques
Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l’inconnue apparaît à travers ses lignes trigonométriques.
Exemples
Les équations ci-dessous sont des équations trigonométriques d’inconnue x :
1) Trouver
tel que 2) Résoudre l’équation
Résolution de l’équation cos x = a
Soit à résoudre dans
l’équation cos x=aOu a est un nombre réel .soit S l’ensemble des solutions il faut distinguer deux cas:
* Si IaI >1 l’équation n’a pas de solution car, pour tout
*Si IaI<=1 ,l’équation admet deux solutions opposées o et –o dans l’intervalle
L’équation admet une infinité de solutions :
L’ensemble des solutions est
Exemples
Résoudre l’équation
Résolution de l’équation sin x = a
Soit à résoudre dans
l’équation sin x=aOu a est un nombre réel .
Soit S l’ensemble des solutions. Il fut distinguer deux cas :
• Si IaI >1 l’équation n’ a pas de solution
Car, pour tout
, 
• Si IaI<=1,l’équation admet deux solutions
dans L’intervalle l’équation admet une infinité de solutions :
.jpg)
L’ensemble des solutions est
Exemples
Résoudre l’équation
On en déduit
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