Trigonométrie
Cours maths 1ère S
Trigonométrie : Angles orientés |
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Un peu d’histoire…

Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Egypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus, il y a plus de 4 000 ans.
La première utilisation du sinus apparaît dans les sulbasutras en Inde entre 800 et 500 avant Jésus Christ. Les sulbasutras sont des textes indiens qui contiennent l’ensemble des connaissances requises pour ériger des temples et des autels.
Les fonctions trigonométriques furent étudiées plus tard par le mathématicien
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Les travaux d’Hipparque furent poursuivis en Egypte par Ptolémée
(90 – 168) qui développa des formules d’addition et de soustraction.
Lignes trigonométriques
Quelques points importants à retenir :
Définition
Soit

Soient et
deux vecteurs non nuls, t une mesure en radians de l’angle
et M le point image de t sur le cercle C.
Autrement dit on a
Premières propriétés
Propriété
Pour tout nombre réel t et tout nombre entier relatif k on a
•

•

•

•

•

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période

Remarque
Les mesures

Le cosinus et le sinus d’un angle orienté ne dépendent donc pas de la mesure choisie.
Tangente
Définition
Soit t un nombre réel.
Si


Valeurs particulières
Les valeurs particulières suivantes doivent être connues :

Important

Lignes trigonométriques des angles associés
Pour tout nombre réel t, on a les égalités suivantes :


Angles associés



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Angles associés






Formules d’addition
Point cléf
Pour tous nombres réels a et b on a
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a-b) = sin a cos b – cos a sin b
Formules d’addition : démonstration
Le plan est rapporté à un repère orthonormé

Soient a et b deux nombres réels .
Soit a le point du cercle trigonométrique correspondant à a
Soit b le point du cercle trigonométrique correspondant à a+b
Soit c le point du cercle trigonométrique correspondant à


Le point t A a pour coordonnées (cos a , sin a)
Le point C a pour coordonnées

On a donc

Dans le repère orthonormé

D’où

On a donc

Par ailleurs , dans le repère

D’où

On en déduit

Ces égalités était valables pour tous nombre réels a et b, en remplaçant b par –b, on obtient

c’est-à-dire

et

c’est-à-dire

Formules de duplication
Pour tout nombre réel a on a
cos (2a) = cos2 a – sin2 a
= 2cos2 a - 1
= 1 – 2sin2 a
sin (2a) = 2sin a cos a
Formules de duplication : démonstration
On a, pour tous a et b réels,

d’où en posant b=a

De plus,

d’où

Et

De même

d’où, en posant b=a

Formules de linéarisation
Des formules de duplication, on déduit les formules de linéarisation :

Equations trigonométriques
Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l’inconnue apparaît à travers ses lignes trigonométriques.
Exemples
Les équations ci-dessous sont des équations trigonométriques d’inconnue x :
1) Trouver

2) Résoudre l’équation

Résolution de l’équation cos x = a
Soit à résoudre dans

Ou a est un nombre réel .soit S l’ensemble des solutions il faut distinguer deux cas:
* Si IaI >1 l’équation n’a pas de solution car, pour tout


*Si IaI<=1 ,l’équation admet deux solutions opposées o et –o dans l’intervalle


L’équation admet une infinité de solutions :

L’ensemble des solutions est

Exemples
Résoudre l’équation




Résolution de l’équation sin x = a
Soit à résoudre dans

Ou a est un nombre réel .
Soit S l’ensemble des solutions. Il fut distinguer deux cas :
• Si IaI >1 l’équation n’ a pas de solution
Car, pour tout



• Si IaI<=1,l’équation admet deux solutions


l’équation admet une infinité de solutions :

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L’ensemble des solutions est

Exemples
Résoudre l’équation


On en déduit

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