Fonction dérivée
Cours maths 1ère S
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Définition de la fonction dérivée
Soit



On dit que la fonction f est dérivable sur

est dérivable en tout nombre réel


Dans ce cas, la fonction qui à tout


de f en

On la note :

Exemple
Soit f la fonction définie sur




Lorsque h tend vers 0,



La fonction f est donc dérivable en


et on a :

La fonction

est la fonction dérivée de la fonction f.
Dérivée des fonctions usuelles

Dérivée seconde
Remarque
Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle


Si la fonction



sa dérivée et on l’appelle dérivée seconde de

Exemple
Soit f la fonction définie sur


Nous avons vu tout à l’heure que f est dérivable sur



La fonction


En effet, pour tout



Opérations sur les fonctions
Nous allons voir maintenant quelques propriétés qui permettent de calculer la dérivée d’une fonction à partir des dérivées des fonctions usuelles.
Somme de fonctions
Propriété
Soient n et v deux fonctions dérivables sur un intervalle




C’est-à-dire pour tout


Démonstration


Exemple
Soit f la fonction définie sur [0,


On a pour tout



où


La fonction u est dérivable sur


]0,


Produit d’une fonction par un nombre réel
Propriété
Soit








Démonstration


Exemple
Soit f la fonction définie par




. La fonction u est dérivable sur



La fonction f est donc dérivable sur



Applications aux fonctions polynômes
Propriété
Toute fonction polynôme est dérivable sur

Exemple
Soit P la fonction polynôme définie par :

On pour tout


Où

Les fonctions u, v, t et w sont dérivables sur



On en déduit que la fonction polynôme P est dérivable sur

et pour tout


Produit de deux fonctions
Propriété
Soit








Démonstration




Exemple
Soit f la fonction définie par




La fonction f est dérivable sur



Inverse d'une foncton
Propriété
Soit






Démonstration


Exemple
Soit f la fonction définie par

La fonction f est définie sur

c’est-à-dire sur

Posons



Donc la fonction f est dérivable sur




Quotient de deux fonctions
Propriété
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle





et

Démonstration

Exemple
Soit f la fonction définie sur


Posons

où


les fonctions u et v sont des fonctions polynômes dérivables sur



Comme pour tout


la fonction f est dérivable sur



Dérivée d’une composée de la forme
Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle


est dérivable en tout nombre réel



Exemple
Soit f la fonction définie par

On a, pour tout



La fonction u est dérivable sur


On en déduit que la fonction f est dérivable sur


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