Fonction dérivée

Cours maths 1ère S

Fonction dérivée :
Fonction dérivée
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Définition de la fonction dérivée

 
Soitun intervalle de  et soit f une fonction définie sur
.
On dit que la fonction f est dérivable sur
si elle
est dérivable en tout nombre réel  de
.

Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé 

de f en s’appelle la fonction dérivée de f.

On la note :      

 
 
Exemple
 
Soit f la fonction définie sur
par :
Soit 
On a :
 
 
 
 Lorsque h tend vers 0,  tend vers  donc


La fonction f est donc dérivable en
, pour tout
et on a :

La fonction




est la fonction dérivée de la fonction f.                         

        
Dérivée des fonctions usuelles

 
 

 
 
Dérivée seconde
 
 
Remarque
 
Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
et soit  sa dérivée.
Si la fonction
est elle-même dérivable, on note  ou     
sa dérivée et on l’appelle dérivée seconde de .     

Exemple
 
Soit f la fonction définie sur
par              
Nous avons vu tout à l’heure que f est dérivable sur
et que, pour tout nombre réel , on a

La fonction
est elle-même dérivable sur .
En effet, pour tout
, on a :

                                  



Opérations sur les fonctions
 
Nous allons voir maintenant quelques propriétés qui permettent de calculer la dérivée d’une fonction à partir des dérivées des fonctions usuelles.

Somme de fonctions

Propriété

Soient n et v deux fonctions dérivables sur un intervalle
. Alors la fonction
est dérivable sur
et ,
C’est-à-dire pour tout
        

                       


Démonstration







Exemple


Soit f la fonction définie sur [0, [ par                      .
On a pour tout [0,
[

           
où  et

La fonction u est dérivable sur
et la fonction v est dérivable sur ]0,[ donc la fonction f est dérivable sur
]0,
[  et   
        
                              


Produit d’une fonction par un nombre réel


Propriété

Soit  une fonction dérivable sur un intervalle
et soit  un nombre réel. Alors la fonction  est dérivable sur et c’est-à-dire pour tout 

                              

          
 
Démonstration








Exemple

Soit f la fonction définie par  on a pour tout
   où 
             . La fonction u est dérivable  sur
et pour tout                       
La fonction f est donc dérivable sur
et pour tout          

                         


Applications aux fonctions polynômes

Propriété

Toute fonction polynôme est dérivable sur


Exemple


Soit P la fonction polynôme définie par :
On pour tout 
,



Les fonctions u, v, t et w sont dérivables sur
et on a, pour tout
                       

On en déduit que la fonction polynôme P est dérivable sur
                  
          
et pour tout





Produit de deux fonctions

Propriété


Soit     et   deux fonctions dérivables sur un intervalle
alors la fonction  est dérivable sur et                     c’est-à-dire pour tout              

Démonstration














Exemple


Soit f la fonction définie par    on a, pour tout

      et 

La fonction f est dérivable sur
  et pour tout

                         


Inverse d'une foncton


Propriété


Soit
une fonction dérivable sur un intervalle alors la fonction   est dérivable sur et, pour  tout , on a
              
                   




Démonstration








Exemple

Soit f la fonction définie par

La fonction f est définie sur

c’est-à-dire sur

Posons   la fonction u est définie et dérivable sur
, elle s’annule pour           

Donc la fonction f est dérivable sur  
  et on a pour tout    ,  et 



Quotient de deux fonctions


Propriété


Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle
. On suppose que pour tout ,     alors la fonction  est dérivable sur 

   et   
           


Démonstration






Exemple

Soit f la fonction définie sur
par

Posons

où    et 

les fonctions u et v sont des fonctions polynômes dérivables sur
et on a
                               
             et         

Comme pour tout 
,
la fonction  f est dérivable sur 
  et on a :

    
                




Dérivée d’une composée de la forme


Propriété


Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
et soient a et b deux nombres réels. Alors la fonction f définie par
est dérivable en tout nombre réel  tel que   et on a

                                           


Exemple


Soit f la fonction définie par


On a, pour tout


     où 

La fonction u est dérivable sur 
  et on a                        .  .
On en déduit que la fonction f est dérivable sur
  et
 
                   

                               
  



 
         Cours complémentaires :

► Nombre dérivé
► Dérivation - Application
► Fonctions-Comportement global
► Sommaire cours maths 1ère S

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