Fonction dérivée
Cours maths 1ère S
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Définition de la fonction dérivée
Soit
un intervalle de 
et soit f une fonction définie sur . On dit que la fonction f est dérivable sur
si elle est dérivable en tout nombre réel
de .Dans ce cas, la fonction qui à tout
associe le nombre dérivé 
de f en
s’appelle la fonction dérivée de f.On la note :
Exemple
Soit f la fonction définie sur
par :
Soit 
On a :
Lorsque h tend vers 0,
tend vers 
donc 
La fonction f est donc dérivable en
, pour tout et on a :
La fonction
est la fonction dérivée de la fonction f.
Dérivée des fonctions usuelles
Dérivée seconde
Remarque
Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
et soit 
sa dérivée.Si la fonction
est elle-même dérivable, on note 
ou 
sa dérivée et on l’appelle dérivée seconde de
. Exemple
Soit f la fonction définie sur
par Nous avons vu tout à l’heure que f est dérivable sur
et que, pour tout nombre réel , on a La fonction
est elle-même dérivable sur .En effet, pour tout
, on a :
Opérations sur les fonctions
Nous allons voir maintenant quelques propriétés qui permettent de calculer la dérivée d’une fonction à partir des dérivées des fonctions usuelles.
Somme de fonctions
Propriété
Soient n et v deux fonctions dérivables sur un intervalle
. Alors la fonction 
est dérivable sur et 
, C’est-à-dire pour tout
Démonstration
Exemple
Soit f la fonction définie sur [0,
[ par 
.On a pour tout
[0,[ 
où
et 
La fonction u est dérivable sur
et la fonction v est dérivable sur ]0,[ donc la fonction f est dérivable sur]0,
[ et 
Produit d’une fonction par un nombre réel
Propriété
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle et soit 
un nombre réel. Alors la fonction 
est dérivable sur et 
c’est-à-dire pour tout 
Démonstration
Exemple
Soit f la fonction définie par
on a pour tout 
où 
. La fonction u est dérivable sur
et pour tout 
La fonction f est donc dérivable sur
et pour tout 
Propriété
Toute fonction polynôme est dérivable sur
Exemple
Soit P la fonction polynôme définie par :
On pour tout
, 
Où
Les fonctions u, v, t et w sont dérivables sur
et on a, pour tout 
On en déduit que la fonction polynôme P est dérivable sur
et pour tout
Produit de deux fonctions
Propriété
Soit
et 
deux fonctions dérivables sur un intervalle alors la fonction 
est dérivable sur et 
c’est-à-dire pour tout 
Démonstration
Exemple
Soit f la fonction définie par
on a, pour tout 
et 
La fonction f est dérivable sur
et pour tout 
Inverse d'une foncton
Propriété
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle alors la fonction 
est dérivable sur et, pour tout , on a 
Démonstration
Exemple
Soit f la fonction définie par
La fonction f est définie sur
c’est-à-dire sur
Posons
la fonction u est définie et dérivable sur , elle s’annule pour 
Donc la fonction f est dérivable sur
et on a pour tout 
, 
et 
Quotient de deux fonctions
Propriété
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle
. On suppose que pour tout , 
alors la fonction 
est dérivable sur et
Démonstration
Exemple
Soit f la fonction définie sur
par 
Posons
où
et 
les fonctions u et v sont des fonctions polynômes dérivables sur
et on a
et 
Comme pour tout
, 
la fonction f est dérivable sur
et on a : 
Dérivée d’une composée de la forme
Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
et soient a et b deux nombres réels. Alors la fonction f définie par 
est dérivable en tout nombre réel
tel que 
et on a 
Exemple
Soit f la fonction définie par
On a, pour tout
où 
La fonction u est dérivable sur
et on a 
. .On en déduit que la fonction f est dérivable sur
et 
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