Complexes - forme exponentielle
Complexes - forme exponentielle : Dans ce module, définition, manipulation et étude de l’écriture d’un nombre complexe sous forme exponentielle. |
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1/ Nombre complexe de module 1
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé :![]()
Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous forme trigonométrique :
Réciproquement :Or : 1>0 donc par unicité de l’écriture trigonométrique :
D’où l’équivalence :
1/ Nombre complexe de module 1
Résultat évident d’un point de vue géométrique car :





A chaque point du cercle correspond une valeur de
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Si l’intervalle sur lequel est pris est d’une longueur inférieure à 2
alors M ne décrit qu’un arc de cercle.
2/ Notation exponentielle
Pour des raisons d'analogie avec la fonction exponenetielle, que nous verrons plus loin, on décide de noter :
Se lit " exponentielle de i " ou encore plus simplement : " é - i - téta " .
D’où une équivalence globale :
Il faut savoir lire et utiliser ces multiples équivalences dans tous les sens et avoir compris en particulier que :est le nombre complexe de module 1 et d’argument
.
ou encore que :Tout nombre complexe de module 1 peut s’écrire,
étant son argument.
3/ Quelques valeurs de référence est le nombre complexe de module 1 et d'argument
Donc, en particulier : est le nombre complexe de module 1 et d’argument 0.

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mais on notera plutôt avec le signe "-" devant
D'où
Resultat que l'on peut aussi retrouver par le calcul :
4/ Notation exponentielle du conjugué et de l'opposé
Nous pouvons nous aider de la configuration






5/ Propriétés algébriques de la notation exponentielle
Produit de deux exponentielles :
est le nombre complexe de module 1 et d'argument
donc :
Cette égalité ainsi que celle-ci := 1
sont les deux « équations fonctionnelles » que doit vérifier une fonction pour être une fonction exponentielle.La notation
se justifie donc.
Remarque :
On peut retrouver le resultat démontré géometriquement sur
Puissance d'une exponentielle :
est le nombre complexe de module 1 et d'argument
donc :
On peut également le déduire comme première conséquence du resultat ci-dessus en utilisant une demonstration par recurrrence.
Inverse d'une exponentielle :
donc :
On peut également le démontrer en utilisant module et argument comme vu plus haut.
Remarque :
1) On peut retrouver le résultat démontré géométriquement donc
2) On peut diviser par car son module vaut 1 il ne peut être nul.
Quotient de deux exponentielles :

La propriété N°2 peut aussi être écrite ainsi :
sous cette forme, elle est appellée Formule de Moivre
En résumé, la notation exponentielle a les mêmes propriétés que la notation puissance.
Ces propriétés sont donc très simples à retenir et leur manipulation est très intuitive.
Leur démonstration pourra faire l’objet d’un R.O.C.
6/ Forme exponentielle : existence
Rappel sur la forme trigonométrique :Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé :
et orienté dans le sens trigonométrique.
Tout nombre complexe non nul peut s’écrire :cette écriture est appelée : forme exponentielle du nombre complexe.
Cependant, attention toute écriture qui à l’air exponentielle n’en est pas forcément une !
Par exemple :n'est pas écrit sous forme exponentielle car -5<0 ne peut être le module de z.
Remarque :
Nous verrons dans la partie exercice comment trouver la bonne écriture exponentielle de ce nombre
7/ Forme exponentielle : unicité
Rappel :
L'écriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul est unique.
Et d'un point de vue pratique :Donc :est l'écriture trigonométrique de z si et seulement si
auquel cas
L'écriture exponentielle d'un nombre complexe est unique.et d'un point de vue pratique :
7/ Forme exponentielle : égalitéest l'écriture exponenetielle de z si et seulement si
auquel cas![]()
Une stratégie pour mettre un nombre sous forme exponentielle pourra donc parfois consister à calculer le module, à le mettre en facteur,puis à réussir à mettre le facteur restant sous la forme :
Rappel :
Si les formes trigonométriques de z et z' sont :alors :
donc : si les formes exponentielles de z et z' sont :alors :
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7/ Forme exponentielle : résumé


Remarque
Pour passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ou inversement,il faut passer par la forme intermédiaire qu’est la forme trigonométrique.
7/ Forme exponentielle :conjugué et opposé



7/ Forme exponentielle : calculs
Du fait de ses propriétés semblables à celles d’une puissance,la notation exponentielle est idéale pour pratiquer des calculs sur les complexes.
En particulier quand ces calculs sont des produits, des puissances ou des quotients.
Exemples :
1° Montrer queest un réel.
On aurait également pû faire ce calcul à l'aie de deux carrés ou de la formule du binôme de Newton.
Tout d'abord, mettons 3 + 3i sous forme exponentielle.
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2° Montrer queest imaginaire pur.
On pourrait tout à fait mener ce calcul de façon algébrique mais nous allons choisir la stratégie exponentielle.



Toute cette étape pouvant être faite de tête ou au brouillon




8/ Formules d’Euler

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Remarque
Comme
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On peut par exemple redémontrer ce résultat de la sorte :
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9/ Equation paramétrique d’un cercle : démonstration
Soit C le cercle de centre
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De plus quand M parcourt C ,Oradmet une écriture exponentielle qui est :
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Illustration
Ce résultat est très simple à retrouver et à expliquer graphiquement :



En résumé :

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à chaque valeur de prise dans un intervalle de longueur
correspond un unique point du cercle, et inversement.
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