Complexes - forme exponentielle

 
 
1/ Nombre complexe de module 1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé :           
Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous forme trigonométrique : 


Réciproquement : 

Or : 1>0  donc par unicité de l’écriture trigonométrique : 

D’où l’équivalence :

 1/ Nombre complexe de module 1


Résultat évident d’un point de vue géométrique car :

 


A chaque point du cercle correspond une valeur de  .
balaye donc un intervalle semi-ouvert de longueur 2.

Si l’intervalle sur lequel est pris  est d’une longueur inférieure à 2
alors M ne décrit qu’un arc de cercle.

 2/ Notation exponentielle

Pour des raisons d'analogie avec la fonction exponenetielle, que nous verrons plus loin, on décide de noter : 
Se lit " exponentielle de i " ou encore plus simplement : " é - i - téta " .

D’où une équivalence globale :

Il faut savoir lire et utiliser ces multiples équivalences dans tous les sens et avoir compris en particulier que :

 est le nombre complexe de module 1 et d’argument .

ou encore que :

Tout nombre complexe de module 1 peut s’écrire ,  étant son argument. 

3/ Quelques valeurs de référence

   est le nombre complexe de module 1 et d'argument

Donc, en particulier :  est le nombre complexe de module 1 et d’argument 0.

D'où : D'où  = 1 

Par un même raisonnement graphique, on obtient :

mais on notera plutôt avec le signe "-" devant

D'où 

Resultat que l'on peut aussi retrouver par le calcul :

4/ Notation exponentielle du conjugué et de l'opposé


Nous pouvons nous aider de la configuration

         

5/ Propriétés algébriques de la notation exponentielle


Produit de deux exponentielles : 

   est le nombre complexe de module 1 et d'argument  donc :
Cette égalité ainsi que celle-ci : = 1   
sont les deux « équations fonctionnelles » que doit vérifier une fonction pour être une fonction exponentielle.

La notation   se justifie donc.

Remarque : 
On peut retrouver le resultat démontré géometriquement sur 

Puissance d'une exponentielle : 

  est le nombre complexe de module 1 et d'argument  donc : 

On peut également le déduire comme première conséquence du resultat ci-dessus en utilisant une demonstration par recurrrence.

Inverse d'une exponentielle : 

  donc : 

On peut également le démontrer en utilisant module et argument comme vu plus haut.

Remarque :
1) On peut retrouver le résultat démontré géométriquement 
    donc  
2) On peut diviser par  car son module vaut 1 il ne peut être nul.

Quotient de deux exponentielles : 

La propriété N°2 peut aussi être écrite ainsi :
 sous cette forme, elle est appellée Formule de Moivre 

En résumé, la notation exponentielle a les mêmes propriétés que la notation puissance.

Ces propriétés sont donc très simples à retenir et leur manipulation est très intuitive.
Leur démonstration pourra faire l’objet d’un R.O.C.