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Les vecteurs
Cours maths seconde
Les vecteurs : Il s’agit d’un cours de révisions de programme de collège sur les vecteurs (définition, égalité de vecteurs, somme, translation, relation de Chasles, ….) avec quelques compléments. |
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Définition d'un vecteur :
Si l’on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par :
- sa direction
- son sens
- sa norme
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Exemple :
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La direction de.png)
est la droite (AB).
est la droite (AB). Le sens deest de A vers B.
est de A vers B. La norme deest la longueur AB.
est la longueur AB.Egalité de vecteurs :
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Exemple :
Les vecteurs
et.png){kind=small}
ont le même sens..png){kind=small}
=.png){kind=small}
si :
(AB) // (CD).png){kind=small}
AB = CDConstruction de la somme de vecteurs :
Si
.png){kind=small}
et.png){kind=small}
sont deux vecteurs donnés, pour construire la somme.png){kind=small}
:- On trace le vecteur
.png)
à partir d’une origine O, ce qui nous donne le vecteur
. - En O’, on trace le vecteur
.png)
, ce qui nous donne le vecteur
et la somme des vecteursetest le vecteur
.
Exemple : Construire
.png){kind=small}
où .png){kind=small}
,et O sont donnés ci-dessous.
Exemple :
Un voyageur part de Paris pour aller à Kiev en faisant une escale à Rome.
Règle du parallélogramme n°1.
.png)
.png){kind=small}
=.png){kind=small}
équivaut à : « ABDC est un parallélogramme ».Règle du parallélogramme n°2.
Si
.png){kind=small}
et.png){kind=small}
alors.png){kind=small}
où R est le point défini de sorte que OMRN est un parallélogramme..png)
Pour construire la somme des vecteurs
.png){kind=small}
et .png){kind=small}
, on construit le quatrième sommet du parallélogramme OMRN.Règle du parallélogramme n°3.
Les points A, B et C étant donnés, si ABCD est un parallélogramme alors :
.png){kind=small}
.png)
Relation de Chasles.
Les points A et C étant donnés, pour tout point B, on a la relation :
.png){kind=small}
Ce qui est important pour cette relation de Chasles, c’est que le deuxième point du premier vecteur (ici B) soit le même que le premier point du second vecteur.
Translation.
Le point M’ est l’image du point M dans la translation de vecteur
.png){kind=small}
signifie que.png){kind=small}
.(ABM’M est donc un parallélogramme.)
L’image d’une droite (d) par une translation est une droite (d’) qui est parallèle à (d).
Exemple de deux grues:
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