Vecteurs de l’espace

Cours maths 1ère S

Vecteurs de l’espace :

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Notion de vecteur de l’espace

La notion de vecteur du plan se généralise sans difficulté à l’espace.

Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Le vecteur

est parfaitement déterminé par :

- sa direction : celle de la droite (AB),
- son sens : de A vers B,
- sa norme : la distance AB aussi notée

Les vecteurs de l’espace ont les mêmes propriétés que les vecteurs du plan.

Vecteurs égaux

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls

sont égaux.

- si et seulement si ils ont même direction, même
sens et même longueur,
- si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

Vecteurs opposés

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.

Les deux vecteurs non nuls

sont
opposés si et seulement si ils ont même direction,
des sens opposés et même norme.

Les deux vecteurs

sont opposés
si et seulement si les vecteurs

sont égaux.

Vecteurs coplanaires

Des vecteurs sont coplanaires si et seulement
en traçant leurs représentants à partir d’un même
point A, les extrémités de ces représentants sont
coplanaires avec A.

Les vecteurs

sont
coplanaires.
Les vecteurs

ne sont pas
coplanaires.

Deux vecteurs sont toujours coplanaires.

Somme de deux vecteurs

Soient

deux vecteurs de l’espace.
Comme les vecteurs

sont coplanaires,
on peut obtenir la somme

de ces deux vecteurs
en utilisant les deux méthodes utilisées dans le plan :

- la règle du parallélogramme,
- la relation de Chasles.

Règle du parallélogramme

où D est le point tel que ABDC est
un parallélogramme.

Relation de Chasles

Produit d’un vecteur par un scalaire

Soit

un vecteur de l’espace et soit k un nombre réel.
On définit le vecteur

de la façon suivante :

-> Si k=0 alors

-> Si

alors

-> Si

alors

est le vecteur qui a :

- même direction que

.

- même sens que

et sens contraire à celui de

pour norme celle de ;

multipliée par |k| :

Produit d’un vecteur par un scalaire

Calcul vectoriel

L’addition des vecteurs et la multiplication d’un vecteur
par un scalaire dans l’espace ont les mêmes propriétés
que dans le plan.

Soient

deux vecteurs de l’espace et k et k’ deux nombres réels.
Alors

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et
seulement si l’un des deux est le produit de l’autre par
un scalaire.

colinéaires

Les vecteurs

sont colinéaires.

Les vecteurs

sont colinéaires.

Vecteurs colinéaires

1) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur

car

2) Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

Vecteurs colinéaires et droites

Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Un point M de l’espace appartient à la droite (AB)
si et seulement si les vecteurs

sont
colinéaires.

On a donc :
le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si
il existe un nombre réel t tel que :

Vecteurs colinéaires et droites

Soient A, B, C et D quatre points de l’espace.
Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles
si et seulement si les vecteurs

sont colinéaires.

Les vecteurs

sont colinéaires.
Les deux droites (AB) et (CD)
sont parallèles.

Plans de l’espace

Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.
Un point M de l’espace appartient au plan (ABC) si et
seulement si il existe deux nombres réels x et y
tels que

Repères de l’espace

Un repère de l’espace est un quadruplet

formé
- d’un point O appelé origine du repère,
- d’un triplet

de vecteurs non coplanaires.

Si les vecteurs

sont deux à deux
orthogonaux, le repère

est dit
orthogonal.
Si de plus on a

On dit que le repère

est orthonormé.

Coordonnées d’un point de l’espace

Soit

un repère de l’espace. Pour tout point M de
l’espace il existe un unique triplet (x,y,z) de nombres réels tels que :

s’appelle l’abscisse de M
s’appelle l’ordonnée de M
s’appelle la côte de M

(x,y,z) sont les coordonnées
du point M dans le repère

.

Coordonnées d’un point de l’espace

Plans de coordonnées

Un point M de coordonnées (x,y,z) dans le
repère

de l’espace appartient
au plan (xOy) si et seulement si z=0

z=0 est une équation du plan (xOy).

De même, le plan (yOz) a pour équation x=0.
Le plan (xOz) a pour équation y=0.
Les trois plans (xOy) , (yOz) et (xOz)
sont les trois plans coordonnées.

Règles de calcul

Si dans un repère on a et ,

alors
a pour coordonnées

et, pour tout nombre réel ,

&a pour coordonnées

Règles de calcul

  Si A et B sont deux points de l’espace de coordonnées
    respectives  et  dans un repère, alors

Le vecteur  a pour coordonnées :

Le milieu de [AB] a pour coordonnées :

                    Si le repère est orthonormé :

Cours complémentaires :

? Repères de l’espace
? Droites et plans de l’espace
? Sections planes
? Translations et homothéties

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