Vecteurs colinéaires

Cours maths seconde

Vecteurs colinéaires :

Repérer des points d’un plan, des cases d’un réseau carré ou rectangulaire.
Utiliser le calcul vectoriel pour faciliter le repérage des points ou justifier le calcul de coordonnées.
Définition des vecteurs colinéaires.
Condition analytique de colinéarité.
Applications au parallélisme ou à l’alignement.

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      A voir aussi :


► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
 

 
Définition


Deux vecteurs non nuls  et  sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que  .

Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre.

Remarques : Puisque le vecteur
est non nul, alors le nombre réel k est forcément différent de 0.

Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.


Illustration




Exemples


Si  alors
et sont colinéaires

- En effet,
= 2 puisque : 4 = 2 x 2 et -6 = 2x(-3)

Si  alors
et ne sont pas colinéaires

- En effet,
n'est pas un multiple de puisque : 12 = 4 x 3 mais :

(-2) x 4 = -8 et non pas -5
Condition analytique de colinéarité


Dans un repère quelconque, les vecteurs  sont colinéaires si et seulement si :


Avantage : dés que l’on se situe dans un repère, cette formule est bien pratique.

Inconvénient : Il faut, avant de pouvoir appliquer cette formule, calculer les coordonnées des deux vecteurs.


Exemples


- Si  alors :

et sont colinéaires car :

- Si  alors :

et ne sont pas colinéaires car :


Application n°1 de la colinéarité


On peut utiliser la colinéarité pour démontrer que des droites sont parallèles en utilisant la propriété suivante :

Les droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.




(AB)//(MN)
et  colinéaires




Application n°2 de la colinéarité


On peut utiliser la colinéarité pour démontrer que des points sont alignés en utilisant la propriété suivante :

Les points A, B  et C sont alignés si et seulement si les vecteurs  et  sont colinéaires.


A, B et C alignés ⇔ et  colinéaires


Exemples


- Si A(-1 ; -5) ; B(0 ; -3) et C(2 ; 1) alors :



Donc A, B et C sont alignés.


- Si M(1 ; 1) ; N(0 ; -2) et P(-3 ; 2) alors :



Donc M, N et P ne sont pas alignés.
 
 
         Cours complémentaires :

► Les vecteurs
► Multiplication d'un
vecteur par un réel

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