Variation de fonctions et extremums

Cours maths seconde

Variation de fonctions et extremums :

Fonctions croissantes ; fonctions décroissantes.
Tableau de variations.
Maximum et minimum. 
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Notations


Dans ce module :

ƒ désigne une fonction définie sur D
(D désigne donc le domaine de définition de la fonction ƒ)

I est un intervalle inclus dans D


Fonction croissante


Graphiquement, ƒ est croissante sur l’intervalle I signifie que sur I, la courbe représentative Cƒ monte.


ƒ est croissante sur l’intervalle I signifie que pour tous nombres réels x1 et x2

Autrement dit :

« une fonction croissante conserve l’ordre ».

Illustration :


ƒ est croissante et on voit bien que : pour a inférieur à b,  f(a) est inférieur à f(b). 


Exemples


La fonction carrée (
ƒ(x) = x²) est croissante sur [0 ; + ∞ [


 Une fonction affine
ƒ(x) = a x + b est croissante si a > 0


La fonction cube (
ƒ(x) = x3)
est croissante sur ℜ


Fonction décroissante


Graphiquement,
ƒ est décroissante sur l’intervalle I signifie que sur I la courbe représentative Cƒ descend.


ƒ est décroissante sur l’intervalle I signifie que pour tous nombres réels x1 et x2                       

Autrement dit :

« une fonction décroissante change l’ordre ».

Illustration :


ƒ est décroissante et on voit bien que : pour a inférieur à b,  ƒ(a) est supérieur à ƒ(b).


Exemples


La fonction carrée (ƒ(x) = x²) est décroissante sur ]-∞ ; 0]


 Une fonction affine
ƒ(x) = a x + b est décroissante si a > 0


La fonction inverse
  est décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ] 0 ; + [



Sens de variation


Le sens de variation (croissant ou décroissant) d’une fonction est résumé dans son tableau de variations.

Exemple : On connaît une fonction
ƒ définie sur [0 ; +[ par sa représentation graphique ci-dessous :



Maximum

Le maximum M de
ƒ est la plus grande des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D.

Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point le plus haut situé sur la courbe.


Le maximum de
ƒ (s’il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que :
ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x de I.

Autrement dit :
« le maximum d’une fonction est la plus grande valeur atteinte par cette fonction ».


Exemples


On connaît une fonction
ƒ par
sa représentation graphique
sur l’intervalle [-2 ; 5].


Le maximum de
ƒ est 6, il est
atteint pour x = 4.

Soit
ƒ la fonction définie sur I = [0 ; + [ par : ƒ(x) = 3 - √x



ƒ(0) = 3 et pour tout x, ƒ(x) ≤ 3

Donc
ƒ admet un maximum qui est 3, atteint en 0


Minimum


Le minimum m de
ƒ est la plus petite des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D.

Sur le graphique, c’est l’ordonnée du point le plus bas situé sur la courbe.



Le minimum de
ƒ (s’il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que :

ƒ(x) ≥ ƒ(a) pour tout x de I.

Autrement dit :

« le minimum d’une fonction est la plus petite valeur atteinte par cette fonction ».


Exemples


On connaît une fonction
ƒ par
sa représentation graphique
sur l’intervalle [-2 ; 5].

Le minimum de
ƒ est -2, il est
atteint pour x = 1.

Soit f la fonction définie sur
par : ƒ(x) = x² + 5

Pour tout x, x² ≥ 0
donc x² + 5 ≥ 0 + 5
donc
ƒ(x) ≥ 5

Pour tout x,
ƒ(0) = 5 et ƒ(x) ≥ ƒ(0)

donc
ƒ atteint en 0 un minimum égal à 5.


Extremum


Un extremum est un maximum ou un minimum.

Exemple : On connaît le tableau de variations d’une certaine fonction
ƒ :


Le maximum de
ƒ est 1

Le minimum de
ƒ est -8

 
         Cours complémentaires :

► Fonctions - introduction
► Compléments sur les fonctions
► Fonctions affines
► Sommaire cours maths seconde

           A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions