Variable aléatoire

 Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une grandeur mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel.
 La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire.
 Le temps de désintégration d’un atome radioactif, le pourcentage de réponses « oui » à une question posée dans un sondage, le nombre d’enfants d’un couple sont des exemples de variables aléatoires.

Un peu d’histoire…

La notion de variable aléatoire est née en même temps que le calcul des probabilités sans toutefois être repérée comme telle. C’est au cours du XVIIIème siècle qu’ont été découvertes la plupart des propriétés d’une variable aléatoire.

Les origines de la notion d’espérance mathématique remontent au problème des parties de Pascal :

Supposons que le joueur A ait gagné deux coups et le joueur B un coup au moment où la police arrive.

Pour partager l’enjeu, on raisonnera ainsi : si le coup suivant était joué, A pourrait le gagner et empocherait donc les 64 pistoles.

Il pourrait aussi le perdre : A et B auraient alors gagné deux coups chacun et il serait légitime de partager l’enjeu de manière égale.

A peut donc espérer avec des chances égales gagner 64 pistoles ou 32. Donc 32 pistoles lui sont assurées et ce sont les 32 pistoles restantes qui sont le véritable enjeu du coup suivant. Il est légitime de les partager également entre A et B.

Donc finalement A va toucher 32 + 16 = 48 pistoles et B 16 pistoles.


Variable aléatoire


 
 Soit un univers et soit P une loi

 de probabilité sur  . Une variable aléatoire X sur

 dans  .

 Une variable aléatoire X associe donc à chaque issue

 de

 un nombre réel.

 Soit l’ensemble des valeurs prises par
 
 la variable aléatoire X.

 L’évènement « X prend la valeur  » est noté «   ».

 

Exemple


    Une urne contient 15 boules indiscernables :

     7 boules vertes, 5 boules jaunes et 3 boules bleues.

     On tire au hasard une boule dans l’urne.

    On note les boules vertes, les boules jaunes, et les bleues.
 
 L’univers  est l’ensemble :

 
 

 - Si la boule tirée est verte on gagne 3 points.

 - Si la boule tirée est jaune on gagne 1 point.

 - Si la boule tirée est bleue on perd 2 points.

La variable aléatoire est donc définie par :

 

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

 Soit un univers et soit P une loi de

probabilité sur  . Soit X une variable aléatoire sur  et soient   les valeurs prises par X.
 
 Pour tout la probabilité  est la probabilité de l’ensemble des issues ayant pour image par X.

 La loi de probabilité de X est la fonction définie sur , qui à chaque fait correspondre le nombre

Loi de probabilité d’une variable aléatoire


Déterminer la loi de probabilité d’une variable
aléatoire X c’est :

 - préciser l’ensemble


  - calculer pour chaque la probabilité
   


La loi de probabilité d’une variable aléatoire est
souvent présentée dans un tableau.




Exemple



 Reprenons l’exemple précédent de l’urne contenant

 15 boules indiscernables (7 vertes, 5 jaunes et 3 bleues).

 On modélise cette expérience par une loi de probabilité

 equirépartie car toutes les boules ont la même probabilité

 d’être tirées.

 Comme l’urne contient 15 boules, la probabilité de chaque
 boule d’être tirée vaut  

Exemple

On a : 
 
avec :  pour 

  pour 

  pour

 

où B est l’évènement « tirer une boule jaune »,

d’où



Enfin,


où C est l’évènement « tirer une boule verte », d’où

On a donc le tableau :


 

Remarque

 
 

Espérance mathématique

 Soit X une variable aléatoire, de loi de probabilité pour .

 L’espérance mathématique de X est le nombre réel E(X) noté aussi , défini par :
 
 
 

Variance et écart type

 La variance de X est le nombre réel V(X)défini par
 
 
 L’écart type de X est le nombre réel  défini par :

 



Remarque

 L’expression « espérance mathématique » vient du langage des jeux.
 Le jeu est favorable au joueur si son espérance est un nombre positif et défavorable si son espérance est un nombre négatif.
 Lorsque l’espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.

Exemple

  Reprenons l’exemple précédent de l’urne.
 Nous avons trouvé pour la loi de probabilité de la
 variable aléatoire :
 
 
 

 Calculons l’espérance mathématique de X :
 
 




Exemple

 
 
 Comme l’espérance mathématique est un nombre positif, ce jeu de hasard est favorable au joueur.

 
 La variance de X vaut :

                    

 
Exemple


 

 L’écart type de X vaut : 

 






Propriété

 La variance de X vaut :
 

 

Démonstration

 On a, par définition de la variance
 
 
 
 En développant, on obtient :

 

Démonstration

    


Démonstration