Valeur absolue

Cours maths seconde

Valeur absolue :


  • Valeur absolue d’un réel
  • Distance entre deux points ou deux nombres
  • Equations et inéquations avec valeur absolue
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Définition
 
 
La valeur absolue d’un nombre réel est égale à :
Ce nombre si celui-ci est positif.
L’opposé de ce nombre si celui-ci est négatif.

Notation :
La valeur absolue d’un nombre réel x est noté | x | .
 
Avec les notations mathématiques :

 
 
 
 
Exemples :
 
 
  | 3 | = 3    car 3 est positif.
 
  | - 5 | = - ( - 5) = 5    car - 5 est négatif.
 
  | - 0,241 | = - ( - 0,241) = 0,241    car - 0,241 est négatif.
 
| π - 3 | = π - 3        car π - 3 est positif.
 
| π - 5 | = - ( π - 5 ) = - π + 5    car π - 5 est négatif.
 
 
 
Premières propriétés et remarques
 
 
Propriétés :
 
♦ La valeur absolue d’un nombre réel est toujours positive.
Pour tout nombre x réel, on a : | - x | = | x |
 
 
Remarques :
 
Sur la calculatrice, la valeur absolue s’obtient grâce à la touche « abs ».
La valeur absolue d’un entier est la valeur de cet entier sans le signe.

 
Distance entre deux points
 
 
Théorème :
 
Soient A et B deux points d’une droite graduée d’abscisses respectives
xA et xB.
Alors, la distance entre les points A et B est égale à :

 
 
 
 
Exemples :
 
 
CD = | xD – xC | = | 4 – 3 | = | 1 | = 1
AB = | xB – xA | = | –3 –1 | = | – 4 | = 4
BC = | xC – xB | = | 3 – (–3) | = | 6 | = 6
OB = | xB – xO | = | –3–0 | = | –3 | = 3
 
 
 
Distance entre deux nombres
 
 
Soient x et y des nombres réels :
La distance entre x et y notée d(x;y) est le nombre réel
| y - x |.
 
 
Exemples :
 
La distance entre 4 et -3 est :
La distance entre -1 et 2 est :

Remarque :
| x | est la distance entre x et O.
 
 
 
Equations de la forme
| x - a | = b avec b positif ou nul
 
 
Méthode :
 
La résolution d’une équation du type
| x - a | = b avec b positif ou nul se fait en trois étapes :
 
L’interprétation.
La réalisation d’un schéma.
L’écriture des solutions.

 
Remarque :
Si b est négatif alors l’équation
| x - a | = b n’a aucune solution puisqu’une valeur absolue est toujours positive !
 
 
 
Exemple :
 
 
Résoudre dans  l’équation
| x - 2 | = 3 .
 
Interprétation :
| x - 2 | est la distance entre x et 2.
Résoudre
| x - 2 | = 3 c’est chercher les réels x qui sont à une distance égale à 3 du réel 2.
 
Schéma :
 



Solutions : Les solutions de l’équation
| x - 2 | = 3 sont -1 et 5.
 
 
 
Inéquations de la forme | x - a | inférieur ou égal à b avec b positif ou nul
 
 
Méthode :
 
La résolution d’une équation du type 
se fait en trois étapes :
 
L’interprétation.
La réalisation d’un schéma.
L’écriture des solutions.

 
Remarque :
Si  alors l’inéquation 
n’a aucune solution puisqu’une valeur absolue est toujours positive !
 
 
 
Exemple :

 
 
Résoudre dans  l’inéquation .
 
Interprétation :
| x - 2 | est la distance entre x et 2.
Résoudre 
c’est chercher les réels x dont la distance à 2 est inférieure ou égale à 3.
 
Schéma :
 



Solutions : L'ensemble solution de l’inéquation
est l'intervalle .
 
   
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