Trinôme du second degré

Cours maths 1ère S

Trinôme du second degré :
Trinôme du second degré
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Voyage au cœur des volcans !




Le saviez-vous ?

      Notre planète comporte de nombreux volcans. Une question longuement débattue a été de savoir à quelle distance d’un volcan les hommes pouvaient construire des habitations sans risque de recevoir des rochers en fusion lors d’éruption volcanique. Galilée au XVIIème siècle a établi la trajectoire parabolique des projectiles et la loi de chute des corps dans l’espace. Ainsi, il a pu établir une équation de la forme :  y = α x2.

 
 
 
Trinôme du second degré

Définition
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur pouvant se mettre sous la forme :


où a, b et c sont des nombres réels et a  1
L’expression ax2+bx+c est appelée trinôme
du second degré.
 
 
Exemples

 
 • Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :

                

• De même   est un trinôme du second degré. En développant, on obtient :

           
 
 • Par contre l’expression  n’est pas un trinôme du second degré car
                 



Racines d’un trinôme

 
 
Définition

On appelle racine d’un trinôme  toute valeur de la variable x solution de l’équation


Exemples
 
– 4 et 1 sont deux racines du trinôme

En effet, posons

On a :
= 0

Forme canonique d’un trinôme du second degré

 
Propriété et Définition

Pour tout trinôme du second degré    (avec   on peut trouver deux nombres réels a  et  b  tels que, pour tout nombre réel x, on ait :

                            
L’écriture  s’appelle la forme canonique du trinôme.




Démonstration


Transformons le trinôme
                  .
On commence par mettre a en facteur, ce qui est possible puisque

                 

Ensuite on écrit que est le début du développement de



Exemples




On a utilisé ici une identité remarquable.
 
est la forme canonique du trinôme

• Pour mettre le trinôme  sous forme canonique,

- on commence par mettre le coefficient de  x²  en facteur dans l’expression-



- ensuite on transforme  en faisant apparaître le début d’une identité
remarquable :

- On obtient alors :



On a donc la forme canonique 


Courbe représentative

Nous venons de voir que toute fonction polynôme du second degré peut être mise sous forme canonique :

                 

La fonction polynôme P étant exprimée sous cette forme, on peut construire sa courbe représentative à partir de celle de la fonction

Propriété
 
La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré P définie par est une parabole de sommet S de coordonnées (a , b) avec




Démonstration

On a


A partir de la parabole représentant la fonction dans un repère

on peut obtenir la courbe représentant la fonction par translation de vecteur colinéaire à


en suite on obtient la courbe représentative de la fonction en multipliant point par point les ordonnées des points de la courbe précédente par a.

Si a > 0 , on obtient :
Si a < 0 , la courbe est "renversée" :

Enfin, on obtient la courbe représentative de la fonction P par translation de vecteur colinéaire à

Si a > 0

Sens de variation


Le sens de variation d’une fonction polynôme du second degré se déduit de celui de la fonction référence


•  Cas où a > 0



•  Cas où a < 0





Résolution de l’équation du second degré


Considérons l’équation du second degré

Nous avons vu que le trinôme 
peut s’écrire sous forme canonique :




Résolution de l’équation du second degré

Posons                     .
Le nombre réel  D  s’appelle le discriminant du trinôme

On a donc


Trois cas sont possibles : 

• Si Δ < 0, comme


n’a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul

• Si Δ = 0, alors



L’équation  a une solution

Si Δ > 0, comme                            .
-
Dans ce cas, on a

 

L’équation
a deux solutions distinctes




Remarque

Pour résoudre une équation du second degré « incomplète », c’est-à-dire une équation dans laquelle il n’y a pas de terme en x ou de terme constant il n’est pas nécessaire d’utiliser les formules générales et le discriminant.
On sait résoudre ces équations directement.

Exemples

►Pour résoudre l’équation-on

met x en facteur :

Les deux solutions de l’équation
sont 0 et – 3.

►Pour résoudre l’équation-

on utilise l’identité remarquable

On écrit :



d’où


Les deux solutions de l’équation   sont  et      


Interprétation graphique


Selon que le trinôme
possède 0, 1 ou 2 racines, la parabole qui le représente coupe ou non l’axe des abscisses.
Il y a six allures possibles pour la parabole d’équation  suivant les signes de a et du discriminant
Δ = b2 - 4ac








Factorisation du trinôme ax2 + bd + c 
              

Théorème

Soit
Δ = b2 - 4ac  le discriminant du trinôme

• Si Δ est positif ou nul, le trinôme se factorise de la façon suivante :

• Si Δ > 0,   où x1 et x2 sont les

deux racines du trinôme.

• Si Δ = 0,


Exemples






On vérifie que :  




On a

et 

Le trinôme Q a une seule racine 


Signe d’un trinôme du second degré

Étudions le signe du trinôme

Soit
Δ = b2 - 4ac le discriminant de ce trinôme.

• Cas Δ > 0 : Soient x1 et x2 les deux racines du trinôme avec x1 < x2.

On a alors la factorisation :

Dressons un tableau de signes :





• Cas Δ = 0 : Alors on a la factorisation

Comme 
> 0 , P(x)est du signe de a.

• Cas Δ < 0 : On utilise la forme canonique du trinôme.



Comme Δ est négatif, est positif et  est positif.

  est donc du même signe que a.



Inéquations du second dégré


Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme.

Exemple

Résoudre l’inéquation

On commence par développer le produit  et à réduire l’expression obtenue.



Ensuite on regroupe tous les termes dans un même membre de l’inégalité :

              

La résolution de l’inéquation

se ramène donc à l’étude du signe du trinôme
Calculons le discriminant de ce trinôme.



L’équation  a donc deux racines distinctes :


On a donc
Cherchons le signe de
en dressant le tableau de signes :







 


         Cours complémentaires :

► Généralités sur les fonctions
► Operations sur les fonctions
► Fonctions polynomes
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