Trinôme du second degré

Cours maths 1ère S

Trinôme du second degré :

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Voyage au cœur des volcans !

Le saviez-vous ?
Notre planète comporte de nombreux volcans. Une question longuement débattue a été de savoir à quelle distance d’un volcan les hommes pouvaient construire des habitations sans risque de recevoir des rochers en fusion lors d’éruption volcanique. Galilée au XVIIème siècle a établi la trajectoire parabolique des projectiles et la loi de chute des corps dans l’espace. Ainsi, il a pu établir une équation de la forme : y = α x².

Trinôme du second degré

Définition
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur pouvant se mettre sous la forme :

où a, b et c sont des nombres réels et a

1
L’expression ax²+bx+c est appelée trinôme du second degré.

Exemples

• Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :

• De même est un trinôme du second degré. En développant, on obtient :

• Par contre l’expression n’est pas un trinôme du second degré car

Racines d’un trinôme

Définition

On appelle racine d’un trinôme toute valeur de la variable x solution de l’équation

Exemples

– 4 et 1 sont deux racines du trinôme

En effet, posons

On a :

= 0

Forme canonique d’un trinôme du second degré

Propriété et Définition

Pour tout trinôme du second degré

(avec

on peut trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre réel x, on ait :

L’écriture s’appelle la forme canonique du trinôme.

Démonstration

Transformons le trinôme .
On commence par mettre a en facteur, ce qui est possible puisque

Ensuite on écrit que est le début du développement de

Exemples

•

On a utilisé ici une identité remarquable.

est la forme canonique du trinôme

• Pour mettre le trinôme sous forme canonique,

- on commence par mettre le coefficient de x² en facteur dans l’expression-

- ensuite on transforme en faisant apparaître le début d’une identité
remarquable :

- On obtient alors :

On a donc la forme canonique

Courbe représentative

Nous venons de voir que toute fonction polynôme du second degré peut être mise sous forme canonique :

La fonction polynôme P étant exprimée sous cette forme, on peut construire sa courbe représentative à partir de celle de la fonction

Propriété

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré P définie par est une parabole de sommet S de coordonnées (a , b) avec

Démonstration

On a

A partir de la parabole représentant la fonction dans un repère

on peut obtenir la courbe représentant la fonction par translation de vecteur colinéaire à

en suite on obtient la courbe représentative de la fonction en multipliant point par point les ordonnées des points de la courbe précédente par a.

Si a > 0 , on obtient :

Si a < 0 , la courbe est "renversée" :

Enfin, on obtient la courbe représentative de la fonction P par translation de vecteur colinéaire à

Si a > 0

Sens de variation

Le sens de variation d’une fonction polynôme du second degré se déduit de celui de la fonction référence

• Cas où a > 0

• Cas où a < 0

Résolution de l’équation du second degré

Considérons l’équation du second degré

Nous avons vu que le trinôme peut s’écrire sous forme canonique :

Résolution de l’équation du second degré

Posons .
Le nombre réel D s’appelle le discriminant du trinôme
On a donc

Trois cas sont possibles :

• Si Δ < 0, comme

n’a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul

• Si Δ = 0, alors

L’équation a une solution

Si Δ > 0, comme .
-
Dans ce cas, on a

L’équation a deux solutions distinctes

Remarque

Pour résoudre une équation du second degré « incomplète », c’est-à-dire une équation dans laquelle il n’y a pas de terme en x ou de terme constant il n’est pas nécessaire d’utiliser les formules générales et le discriminant.
On sait résoudre ces équations directement.

Exemples

►Pour résoudre l’équation-on
met x en facteur :

Les deux solutions de l’équation sont 0 et – 3.

►Pour résoudre l’équation-

on utilise l’identité remarquable

On écrit :

d’où

Les deux solutions de l’équation sont et

Interprétation graphique

Selon que le trinôme possède 0, 1 ou 2 racines, la parabole qui le représente coupe ou non l’axe des abscisses.
Il y a six allures possibles pour la parabole d’équation suivant les signes de a et du discriminant Δ = b² - 4ac

Factorisation du trinôme ax² + bd + c

Théorème

Soit Δ = b² - 4ac le discriminant du trinôme

• Si Δ est positif ou nul, le trinôme se factorise de la façon suivante :

• Si Δ > 0, où x1 et x2 sont les

deux racines du trinôme.

• Si Δ = 0,

Exemples

►

On vérifie que :

►

On a

Le trinôme Q a une seule racine

Signe d’un trinôme du second degré

Étudions le signe du trinôme

Soit Δ = b² - 4ac le discriminant de ce trinôme.

• Cas Δ > 0 : Soient x1 et x2 les deux racines du trinôme avec x1 < x2.

On a alors la factorisation :

Dressons un tableau de signes :

• Cas Δ = 0 : Alors on a la factorisation

Comme > 0 , P(x)est du signe de a.

• Cas Δ < 0 : On utilise la forme canonique du trinôme.

Comme Δ est négatif, est positif et est positif.

est donc du même signe que a.

Inéquations du second dégré

Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme.

Exemple

Résoudre l’inéquation