Trigonométrie

 
Un peu d’histoire…
 
 

La trigonométrie (qui vient du grec trigonos « triangulaire » et de metron « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des rapports de distance et d’angles dans les triangles et de fonctions trigonométriques telles que sinus, cosinus et tangente.


Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d’Egypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de l’Indus, il y a plus de 4 000 ans.

 




La première utilisation du sinus apparaît dans les sulbasutras en Inde entre 800 et 500 avant Jésus Christ. Les sulbasutras sont des textes indiens qui contiennent l’ensemble des connaissances requises pour ériger des temples et des autels.

 

Les fonctions trigonométriques furent étudiées plus tard par le mathématicien grec Hipparque de Nicée (190 av. J.C. – 120 av. J.C.) qui construisit les premières tables trigonométriques.
Les travaux d’Hipparque furent poursuivis en Egypte par Ptolémée
(90 – 168) qui développa des formules d’addition et de soustraction.





 

 
Définition
 
 Soit  un repère orthonormé direct.

Soient  et  deux vecteurs non nuls, t une mesure en radians de l’angle  et M le point image de t sur le cercle C.

Autrement dit on a 

     

 

 
 
Premières propriétés

Propriété

Pour tout nombre réel t et tout nombre entier relatif k on a

•    
•
•
• 
•

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période
 
Remarque

Les mesures  d’un angle orienté ont toutes le même cosinus et le même sinus. 
Le cosinus et le sinus d’un angle orienté ne dépendent donc pas de la mesure choisie.

Tangente

Définition 

Soit t un nombre réel.

Si  où k un nombre entier relatif, la tangente de t est le nombre réel

 

Valeurs particulières

Les valeurs particulières suivantes doivent être connues :




Important


   


Lignes trigonométriques des angles associés

Pour tout nombre réel t, on a les égalités suivantes :


 


 



Angles associés  et .


 
             

              


Angles associés  et .



                               

                


Formules d’addition
 
  Point cléf

Pour tous nombres réels a et b on a

 cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b

 cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b

 sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b

 sin (a-b) = sin a cos b – cos a sin b



Formules d’addition : démonstration


Le plan est rapporté à un repère orthonormé
Soient a et b deux nombres réels .
Soit a le point du cercle trigonométrique correspondant à a
Soit b le point du cercle trigonométrique correspondant à a+b
Soit c le point du cercle trigonométrique correspondant à
 
 




Le point t A a pour coordonnées (cos a , sin a)
Le point C a pour coordonnées

 
 

On a donc

 



Dans le repère orthonormé  le point B a pour coordonnées (cos b ,sin b )

D’où

 


On a donc






Par ailleurs , dans le repère  , le point B a pour coordonnées (cos(a+b), sin (a+b))

D’où

 


On en déduit

 


Ces égalités était valables pour tous nombre réels a et b, en remplaçant b par –b, on obtient

 

c’est-à-dire


 

et

 

c’est-à-dire

 
 

Formules de duplication

Pour tout nombre réel a on a

cos (2a) = cos2 a – sin2 a

 = 2cos2 a - 1

 = 1 – 2sin2 a

sin (2a) = 2sin a cos a


Formules de duplication : démonstration


On a, pour tous a et b réels,

 

d’où en posant b=a

 

De plus,

 

d’où

 


Et 
 

De même
     

d’où, en posant b=a

 


Formules de linéarisation

Des formules de duplication, on déduit les formules de linéarisation :




Equations trigonométriques

Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l’inconnue apparaît à travers ses lignes trigonométriques.


Exemples

Les équations ci-dessous sont des équations trigonométriques d’inconnue x :

1) Trouver  tel que
2) Résoudre l’équation


Résolution de l’équation cos x = a

Soit à résoudre dans l’équation cos x=a
Ou a est un nombre réel .soit S l’ensemble des solutions il faut distinguer deux cas :

* Si IaI >1 l’équation n’a pas de solution car, pour tout  
 
*Si IaI<=1 ,l’équation admet deux solutions opposées o et –o dans l’intervalle

 

L’ensemble des solutions est 

Exemples

Résoudre l’équation  

Résolution de l’équation sin x = a

Soit à résoudre dans l’équation sin x=a
Ou a est un nombre réel .

Soit S l’ensemble des solutions. Il fut distinguer deux cas :

• Si IaI >1 l’équation n’ a pas de solution
Car, pour tout  ,   

• Si IaI<=1,l’équation admet deux solutions  dans L’intervalle  
l’équation admet une infinité de solutions :
 
 

Exemples