Triangles isométriques

Cours maths seconde

Triangles isométriques :

Caractériser analytiquement une droite.
Reconnaître que deux droites sont parallèles.
Etude des cas d’isométrie et applications.
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Définition


Deux triangles sont dits isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même longueur.


ABC et MNP sont isométriques  


(on respecte l’ordre des lettres) 

Exemple


ABC est un triangle isocèle en A.
H le milieu de [BC].





Les triangles ABH et ACH sont isométriques :

  • AB = AC car le triangle ABC est isocèle en A.
  • BH = CH car H est le milieu de [BC].
  • [AH] est un coté commun aux deux triangles.


Théorème


Deux triangles sont isométriques si et seulement si l’un est l’image de l’autre par une translation, une symétrie axiale, une rotation ou une succession de telles transformations.

Exemples :

  • Dans l’exemple de la section précédente, ABH est le symétrique de AHC par la réflexion d’axe (AH).
  • Ci-dessous, MNP est l’image de ABC dans la translation de vecteur



Conséquences


Du théorème précédent, on en déduit une propriété importante sur les triangles isométriques :

Propriété : Si deux triangles sont isométriques, alors :

  • leurs angles sont égaux
  • leur aires sont égales


ABC et MNP sont isométriques



Remarques


La réciproque de la propriété précédente n’est pas vraie : Des triangles ayant des angles égaux ne sont pas forcément isométriques ; de même, des triangles ayant la même aire ne sont pas forcément isométriques.

On dispose de 2 cas d’isométries : ce sont des propriétés utiles pour démontrer que des triangles sont isométriques sans avoir à démontrer les trois égalités de longueur.

Ces deux cas d’isométries sont présentés dans les diapositives suivantes.


Cas d'isométrie n°1


« Un angle compris entre deux cotés »

Théorème 1 : Si deux triangles ont un même angle compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.


  ABC et MNP sont isométriques


Cas d'isométrie n°2


« Deux angles adjacents à un coté »

Théorème 2 : Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques.


  ABC et MNP sont isométriques

 

         Cours complémentaires :

► Triangles semblables
► Configurations du plan
► Triangle rectangle
propriétés - 3ème

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