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Triangle rectangle
Cours maths 4ème
Triangle rectangle Ce cours a pour objectif d’utiliser le théorème de Pythagore ou sa réciproque pour démontrer qu’un triangle est rectangle ou non. Il permet d’entraîner l’élève à la rédaction d’une démonstration. Ce cours requiert une bonne capacité de réflexion et de calcul. |
| ► Sommaire cours maths 4ème A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
Un peu de vocabulaire sur le triangle rectangle
Soit un triangle ABC rectangle en B :
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Rappel :
L’hypoténuse est le côté qui a la
plus grande mesure :
BA < AC
BC < AC
Réflexion sur le triangle rectangle ...
Monsieur Mathenfolie propose le triangle suivant :
Soit le triangle MAP tel que MA = 4,9 cm , AP = 5 cm et MP = 1,4 cm.
Quelle est sa nature ?
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Grâce aux données, nous pouvons, dans un premier temps, affirmer que ce triangle n’est ni isocèle, ni équilatéral car ses trois côtés ont des mesures différentes.
Ce triangle est-il rectangle ?
Si nous construisions en vraie grandeur ce triangle, nous pourrions faire l’hypothèse suivante : le triangle MAP semble être rectangle en M.
Le théorème de Pythagore nous permettrait d’écrire :PA² = MA² + MP².
MAIS, dans la pratique, d’une part : PA² = 5² = 25 d’autre part : MA² + MP² = 4,9² + 1,4² = 25,97 .
Donc PA² ≠ MA² + MP².
| Nous obtenons une contradiction avec notre hypothèse, ce qui veut dire que celle-ci est fausse. Le triangle MAP n’est pas rectangle. Il est donc quelconque. |
Exemple 1
Je sais que ABC est un triangle et je connais les mesures de ses trois côtés :
AB = 1,70 dm , AC = 1,50 dm et BC = 0,81 dm.
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Réfléchissons :Si nous supposons que le triangle ABC est rectangle, alors son hypoténuse est [AB] (car c’est le côté le plus grand) et nous avons l’égalité entre : AB² et AC² + BC².
Calculons :
D’une part AB² = 1,70² = 2,89 et d’autre part AC² + BC² = 1,50² + 0,81² = 2,9061
Conclusion :
Comme AB² ≠ AC² + BC² , le théorème de Pythagore nous permet de dire que le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exemple 2
Je sais que IJK est un triangle et je connais les mesures de ses trois côtés :
IK = 4,40 cm , IJ = 2,79 cm et JK = 5,21 cm.
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Réfléchissons :Si nous supposons que le triangle IJK est rectangle, alors son hypoténuse est [JK] (car c’est le côté le plus grand) et nous avons l’égalité entre : JK² et IK² + IJ².
Calculons :
D’une part JK² = 5,21² = 27,1441 et d’autre part IK² + IJ² = 4,40² + 2,79² = 27,1441
Conclusion :
Comme JK² = IK² + IJ² , nous pourrons dire que le triangle IJK est bien un triangle rectangle en I. Son hypoténuse est [JK].
En effet...
Résumons : Si a, b et c sont des nombres positifs tels que :
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Que pouvons-nous dire de la nature du triangle dont les trois côtés mesurent respectivement a, b et c ?
La réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle :
Si le carré de la mesure de son plus grand côté est égal à la somme des carrés des mesures des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse.
| Ainsi, la réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, tandis que le théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle. |
Cours complémentaires : |
| ► Sommaire cours maths 4ème A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
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