Translations et homothéties

Translations
 
Soit  un vecteur du plan ou de l’espace.
La translation du vecteur

, notée  , est l’application qui à tout point M du plan
ou de l’espace associe le point M’ tel que

 
 
 
Remarques
 
 - La translation de vecteur nul est l’application identique, c’est-à-dire l’application qu’à tout point
M associe le point M lui-même.
 Autrement dit, si , tout point M est invariant par la translation  :
 
 
 - Si  , la translation

n’a aucun vecteur invariant. 

 
 
Notion de transformation
 
Quelques points importants à retenir :
 

La transformation qui à chaque point M du plan ou de l’espace associe un unique point M’ du plan ou de l’espace est une application du plan dans lui même ou de l’espace dans lui même.
 
 M’ est l’image de M par

Réciproquement, tout point M’ du plan ou de l’espace est l’image d’un unique point M.
Une telle application du plan dans lui-même ou de l’espace dans lui-même assurant
cette correspondance « un à un » est appelée une transformation.
 
 
Notion de transformation réciproque
 
 La transformation réciproque d’une transformation

 

est la transformation qui au point  associe le point M.
La transformation réciproque de la translation

est la translation  de vecteur  .


 


 
 
Propriété fondamentale de la translation

Propriété

Si A’ et B’ sont les images respectives des points A et B par une translation, alors
 
                


Démonstration

 :


  et 
 
Alors on a

  et 


 d’où 


On en déduit que AA’B’B est un Parallélogramme d’où

 


On aurait pu écrire en utilisant la relation de Chasles :


 



 
 

Propriété

Une translation du plan ou de l’espace conserve les longueurs ou les aires.
Une translation de l’espace conserve les volumes.

On dit qu’une translation est une isométrie.
Elle transforme un triangle en un triangle isométrique et plus généralement une figure isométrique

 

Définition

Soit  un point quelconque du plan ou de l’espace et soit k un nombre réel non nul .

On appelle homothétie de centre  et de rapport k et on note  la transformation qui à pour tout point M du plan ou de l’espace associe le point M’.

tel que

Exemple
 

 

Remarques

 - Si  , alors, pour tout point M, on a  donc M’=M

Tout point du plan ou de l’espace est invariant et l’homothétie  est l’application identique.
 - Si  , le centre

de l’homothétie est le seul point invariant.
 - Si  , l’homothétie  est la symétrie de centre 

 


 
 

Une première propriété des homothéties 

Propriété

→ un point et son image par une homothétie sont alignés avec le centre de l’homothétie.

 → si  sont trois points alignés, distincts deux à deux, il existe une homothétie, et une seule, de centre  et qui transforme  en    



Démonstration

→Soit  un point et soit  son image par l’homothétie de centre  et de rapport
 
Alors on a 
 

donc les vecteurs  et  sont colinéaires et ont la même origine  donc les trois points , et sont alignés.

 →Soit ,  et  trois points alignés et distincts deux à deux .
Alors les vecteurs  et  sont colinéaires et il existe un unique nombre réel  tel que
 

→Soit  l’homothétie de centre et de rapport L’homothétie  transforme  en
ce qui prouve l’existence.

Supposons qu’une homothétie  de centre et de rapport  transforme en

Alors on a
 
 
et comme
on en déduit que

L’homothétie  est donc l’homothétie , ce qui prouve l’unicité.


 Propriété fondamentale

Propriété

Si A’ et B’ sont les images respectives de A et B par une homothétie de rapport , alors on a


 






Démonstration
 

On a  et 

On en déduit, en utilisant la relation de Chasles,






Homothétie et longueurs, aires et volumes

Propriété

Une homothétie de rapport  multiplie les longueurs par  , l’aire par  et le volume par  


Démonstration

Si  et  sont les images respectives de  et  par une homothétie de rapport , alors on a , d’après la propriété fondamentale,

 

d’où 


et les longueurs sont donc multipliées par .

On admet que l’on peut en déduire que les aires sont multipliées par et les volumes par  
 


Translation, homothétie et alignement


Propriété

Une translation et une homothétie conservent l’alignement.

Autrement dit, les images par une translation ou une homothétie de points alignés sont des points alignés.


Démonstration


Soient A, B et C trois points alignés et deux à deux distincts et soient A’, B’ et C’ leurs images respectives par la transformation  
 

Comme A, B et C sont alignés, il existe un nombre réel tel que



Démonstration

 
→Si  est une translation, on a ,

  et 

 On en déduit


 c’est-à-dire


 donc les vecteurs  et  sont colinéaires 
 et les points A’ , B’ et C’ sont alignés . 

→Si  est une homothétie de rapport , alors on a

  et 

 d’où

           


 c’est-à-dire


donc les vecteurs  et  sont colinéaires et les points A’ , B’ et C’ sont alignés . 


Translation, homothétie et barycentre

Propriété

Une translation et une homothétie conservent le barycentre.

Autrement dit, si G est le barycentre de (A , a) et (B , b) , alors l’image G’ de G par une translation ou une homothétie est le barycentre de (A’ ,a) et (B’ , b) où A’ et B’ sont les images respectives de A et de B.


Démonstration

Soient (A , a) et (B , b) deux points pondérés avec  et soit G le barycentre de (A , a) et (B , b)

Soient A’ , B’ et G’ les images respectives de A , B et G par la transformation
Comme G est barycentre de (A , a) et (B , b) , on a  
 →Si  est une translation, alors 
 
  et 

donc 


→Si est une homothétie de rapport , alors

  et 
 
 d’où

 
 
On a donc, dans les deux cas,

 

avec 

On en déduit que G’ est le barycentre de (A’ ,a) et de (B’ , b).



Remarque

• En particulier une translation ou une homothétie conserve le milieu :
Si est le milieu de [AB] , son image est le milieu de [AB].

• Cette propriété de conservation du barycentre s’étend au barycentre de trois points ou plus.

Translations, homothéties et angles

Propriété

Une translation et une homothétie conservent les angles géométriques et, dans le plan orienté, elles conservent les angles orientés.
Autrement dit, si A, B et C sont trois points deux à deux distincts et si A’, B’ et C’ sont leurs images respectives par une translation ou une homothétie, alors on a



 
 et

 






Démonstration

Soient A , B et C trois points deux à deux distincts et soient A’ , B’ et C’ leurs images respectives par la transformation .

 →Si  est une translation, alors 
 
  et 

donc 


et  


 →Si est une homothétie de rapport  , alors  
  et 

 d’où 

 
 Or  ( car )

 d’après la propriété des angles orientés,

 d’où

 et 


Image d’une droite ou d’un segment


Propriété

Soient A et B deux points distincts et soient A’ et B’ leurs images respectives par la translation ou une homothétie.

 ♦ L’image de la droite (A B) est la droite (A’ B’) , elle est parallèle à la droite (A B).

 ♦ L’image du segment [A B] est le segment [A’ B’].






Démonstration

La droite (AB) est l’ensemble des points M tels que

  lorsque  décrit 
 
Alors si A’ , B’ et C’ sont les images respectives de 
A , B et C par la transformation ( où  est une translation ou une homothétie ), on a 


En effet,
 
 Si est une translation, alors
 
  et 
 
 Si est une homothétie de rapport , alors

  et 


Lorsque M décrit la droite (A B), décrit et le point M’ décrit la droite ( A’ B’) .

La droite (A B) a donc pour image la droite (A’ B’) .

De plus, on a

  si est une translation
et 
 
  si est une homothétie.

Dans les deux cas, les vecteurs   et  sont colinéaires, donc les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles. 

Le segment [AB] est l’ensemble des points M tels que

  avec  
 
On a 
 
Donc lorsque M décrit le segment [A B] , décrit [ 0, 1] et M’ décrit le segment [ A’ B’] .

Le segment [A B] a donc pour image le segment [ A’ B’] .


Image d’un cercle par une translation












Image d’un cercle par une homothétie

 Propriété

Une homothétie de rapport transforme le cercle C de centre O et de rayon R ( R>0 ) en un cercle C’ de centre O’ image de O et de rayon R.

Dans l’espace, le cercle C’ est contenu dans le plan passant par O’ et parallèle au plan contenant C.


Image d’un cercle par une translation








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Cours complémentaires : ► Vecteurs de l’espace ► Repères de l’espace ► Droites et plans de l’espace ► Sections planes

► Sommaire cours maths 1ère S  A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions